Si $X$ es un espacio de Hausdorff, y $x_1, x_2,\ldots, x_n$ son puntos distintos, ¿tienen vecindades abiertas disjuntas?

Question

Una pregunta rápida sobre los espacios de Hausdorff:

Si $X$ es un espacio de Hausdorff y $x_1, x_2,\ldots, x_n$ son puntos distintos, ¿es posible encontrar conjuntos abiertos disjuntos por pares $U_{x_1},\ldots, U_{x_n}$ con $x_i\in U_{x_i}$ ?

Answer 1

Una pista: La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Answer 2

Sí, se puede demostrar esto usando la inducción. El caso base se cumple por definición. Ahora supongamos que para algún $n > 2$ se pueden encontrar barrios abiertos disjuntos para $n$ puntos distintos. Dados los puntos $x_1, \dots, x_n, x_{n+1} \in X$ por la hipótesis inductiva, existen vecindades disjuntas por pares $U_i$ de $x_i$ y existen vecindades disjuntas $V_i$ de $x_i$ y $N_i$ de $x_{n+1}$ para $1 \le i \le n$ . Ahora dejemos que

$$U_{x_{n+1}} = \bigcap_{1 \le i \le n} V_i$$

y que $U_{x_{i}} = V_i \cap U_i$ para $1 \le i \le n$ . Esto completa el paso inductivo.

Answer 3

Siempre existen conjuntos abiertos disjuntos para los puntos finitos en el espacio de Hausdorff. Pero no es cierto que siempre existan conjuntos abiertos disjuntos para los puntos contables del espacio de Hausdorff. Pero tenemos la siguiente afirmación:

Reclamación 1: Siempre existen conjuntos abiertos disjuntos para los puntos de la cuenta en el espacio regular.