Prueba de que los números reales son contables: Ayuda sobre por qué es errónea

Question

Hace poco estaba pensando en esto y se me ocurrió una posible biyección entre los números naturales y los números reales. Primero, tomemos los números entre cero y uno, excluyentes. Se sugiere la siguiente secuencia de números reales para que tengamos la biyección.

0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.01, 0.02, ... , 0.09, 0.10, 0.11, ... , 0.99, 0.001, 0.002, ... , 0,999, 0,0001, etc.

Obviamente, esto incluye las repeticiones, pero este conjunto es contable. Por lo tanto, el conjunto de todos los números entre cero y uno es un subconjunto del conjunto contable anterior, y por lo tanto es contable. Entonces simplemente extendemos esto a todos los números reales y a todos los números enteros en sí, y puesto que los números reales, como se demostró anteriormente, entre dos números enteros cualesquiera es contable, los números reales son la unión de contablemente muchos conjuntos contables, y por lo tanto los números reales son contables.

Por favor, ayúdenme con esto. Entiendo el argumento de la diagonalización de Cantor, pero tengo curiosidad específicamente acerca de esta prueba que se me ocurrió y sus puntos fuertes y defectos.

Gracias.

Answer 1

Su función ignora todos los números reales cuyas representaciones decimales no son finitas, tales como

$\dfrac13=0.3333\ldots$

El subconjunto de números reales que sí tienen representaciones decimales finitas es efectivamente contable (también porque todos son racionales y $\mathbb Q$ es contable).

Answer 2

Si conoces el argumento de diagonalización de Cantor, deberías poder encontrar un contraejemplo a tu problema utilizándolo. Digamos que el método que usamos para hacer la $k$ -ésimo dígito de nuestro nuevo número real diferente del $k$ -ésimo dígito del $k$ -ésimo número de tu lista es sumarle 1 (y hacerlo 0 si es 9). Entonces el argumento de Cantor da el número $0.21111111111111...$ Que no está en tu lista porque (como se dice más abajo) sólo tienes números reales con expansiones decimales finitas en tu lista.

(anteriormente era un comentario, pero se ha convertido en una respuesta a raíz de una sugerencia)

Answer 3

El conjunto que has mostrado es una lista de todos los racionales entre $0$ y $1$ que puede escribirse de la forma $x /10^n$ con $x\in\mathbb{Z}$ que es contable. Pero el conjunto completo de los reales entre $0$ y $1$ es mayor.

Todos los reales son el límite de alguna subsecuencia de esta secuencia, pero no todos están en esta secuencia, p. ej. $\sqrt{2}=1.14142\ldots$ o $\frac{1}{3}=0.33333\ldots$ .