Teorema acerca de dos números reales

Question

Mi pregunta es: $a,b$ son dos números reales positivos tales que su producto es constante,igual a $k$ decir. Demostrar: la suma de $a+b$ es mínimo si y sólo si $a = b= \sqrt k$.

Esto puede ser resuelto mediante la R. M. G. M. la desigualdad? Si sí,entonces me gustaría saber que de esa manera también.

Answer 1

Tenemos $$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=(a-b)^2+4k.$$ Para minimizar $a+b$, podemos minimizar $(a+b)^2$. Para ello, podemos minimizar $(a-b)^2$, mediante el establecimiento $a=b$.

Answer 2

Puesto que usted pidió específicamente para una prueba de uso de la A. M.-G. M. desigualdad, voy a dar uno, aunque no es tan elegante o directa como la prueba de André Nicolás respuesta (que no utiliza la A. M.-G. M. desigualdad).

Por el A. M.-G. M. desigualdad, $\sqrt{ab}\le\frac{a+b}2$,

es decir,$2\sqrt{ab}\le a+b$, con igualdad de iff $a=b$.

Desde el lado izquierdo de la desigualdad es fijo ($2\sqrt k$), tenemos que el lado derecho es igual a un número fijo que no es menor — es decir, se minimiza — iff $a=b$, como se solicita.

Answer 3

Sugerencia: $ab = k \Rightarrow b = k/a$
Para minimizar $S = a + b = a + k/a$, tomar derivados.

Answer 4

Permítanos reformular el problema: encontrar el mínimo de $\,x+y\,$ al $$x,y\in\mathbb{R}^+\,\,,\,\,and\,\,xy=k=constant$$

Ya obtenemos que $\,\displaystyle{y=\frac{k}{x}}\,$ , por lo que necesitamos el mínimo de la función$$f(x)=x+y=x+\frac{k}{x}\Longrightarrow f'(x)=1-\frac{k}{x^2}=0\Longleftrightarrow x=\pm|k|$$

Así, consulte con el derivado de los cambios de signos o con la segunda derivada de la prueba de que uno es lo que.