la solución de $1+\frac{1}{x} \gt 0$

Question

En la resolución de un problema más grande, me encontré con la siguiente desigualdad que debo resolver:

$$ 1+\frac{1}{x} \gt 0.$$

Mirándolo por un rato, me encontré con que $x\gt 0$ $x\lt -1$ son soluciones. Por favor, ¿cómo puedo formalmente muestran que, de hecho, estas son las soluciones.

Answer 1

Hay dos casos. Si $x>0$ podemos multiplicar ambos lados por $x$ y la desigualdad no cambia, es decir,$x+(1/x)x>0(x)$, que se simplifica a $x+1>0$ o $x>-1$. Este caso es la combinación de $x>0$$x>-1$,$x>0$.

Si $x<0$ multiplicamos ambos lados por $x$ y la desigualdad se invierte, es decir,$x+(1/x)x<0(x)$, que se simplifica a $x+1<0$ o $x<-1$. Este caso es la combinación de $x<0$$x<-1$,$x<-1$.

Answer 2

Se preguntó cómo mostrar este formalmente, por lo que una imagen no es, posiblemente, muy útil, pero lo incluyo porque necesito practicar con tikz. Vadim la respuesta de arriba es excelente.

Answer 3

Después de leer tu comentario aquí es cómo ir sobre él, cuando se multiplica por $x^2$. Así que tenemos que resolver

$$x^2 + x > 0.$$

Que puede ser escrito como

$$x(x + 1) > 0.$$

Ahora, el producto de dos números es positivo cuando ambos números son positivos o cuando ambos son negativos. Por lo tanto, tenemos dos casos a resolver:

Caso 1:

$x >0$ $x + 1> 0$

Ambos de estas desigualdades son satisfechos al $x > 0$.

Caso 2:

$x < 0$ $x + 1 < 0$

Ambos de estas desigualdades son satisfechos al $x < -1$.

Espero que ayude!

Answer 4

tenga en cuenta que $\frac{x+1}{x}>0$ $(x+1)x>0$ tienen la misma solución(o, como usted ha mencionado, se multiplican ambos con $x^2$)

generalmente hablando, trayendo el denominador por encima de la barra no cambia la respuesta, pero tenga cuidado de que el denominador no puede ser cero.