Determina si una cónica es degenerada con el determinante.

Question

Existe una biyección natural entre las cónicas (escritas como cuadráticas homogéneas) y $3 \times 3$ matrices:

$$C=aX^2+2bXY+cY^2+2dXZ+2eYZ+fZ^2\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} a&b&d\\ b&c&e\\ d&e&f\end{array}\right)$$

Estoy leyendo el libro de Reid Geometría algebraica de grado y en la página 21 dice que una cónica $C$ es degenerada si el determinante de la matriz desaparece.

Así que pienso en las cónicas degeneradas como $XY=0$ descompuesto como el conjunto $X=0$ y $Y=0$ . Por lo tanto, si el determinante desaparece, tenemos una condición en el $a,b,c,d,e,f$ . ¿Debo creer que si pongo esa condición en mi cónica $C$ , encontraré que la cónica se descompone como

$$C=Q_1Q_2=0?$$

No veo cómo se puede garantizar $C$ es degenerado por la desaparición del determinante.

Answer 1

Trabajar sobre $\mathbb C$ Sí. Por un cambio de base, la forma cuadrática se puede escribir como $AX^2 + BY^2 + CZ^2$ , donde $A,B,C$ son $0$ o $1$ . La condición de determinante dice que tienes al menos un cero. Y nota que $X^2+Y^2$ o $X^2$ factores como un producto de polinomios lineales.