En el documento de Serre sobre $p$ -formas modulares adicas, da el ejemplo (en el caso de $p = 2,3,5$ ) de $\frac{1}{Q}$ y $\frac{1}{j}$ como $p$ -formas modulares adicas, donde $Q = E_4 = 1 + 540\sum \sigma_{3}(n)q^n$ es la serie de Eisenstein normalizada de peso 4 y $j = \frac{\Delta}{Q^3}$ es el $j$ -invariante.
Para ver esto, Serre señala que el hecho de que $\frac{1}{Q}$ es un $p$ -La forma modular adica se desprende de la observación de que $\displaystyle\frac{1}{Q} = \lim_{m\to\infty} Q^{p^m} - 1$ y que $Q = 1 \mod p$ . Señala que de forma similar $\frac{1}{j}$ también se puede demostrar que es $p$ -modular de peso 0 y que el espacio de las formas modulares de peso 0 es precisamente $\mathbb{Q}_p\langle \frac{1}{j} \rangle$ .
Perdone mi ignorancia, pero ¿podría alguien explicar estos hechos con detalle? Quizás me estoy perdiendo algo obvio, pero no entiendo por qué el $\displaystyle \lim_{m\to\infty} Q^{p^m} - 1 = \frac{1}{Q}$ es verdadera y cómo obtener las otras afirmaciones que hace.
