Demostrar que no hay números enteros $a, b, c$ satisfaciendo $12a + 18b + 27c = 227$

Question

Dado $12a + 18b + 27c = 227$ ¿cómo podemos demostrar que $a, b, c$ nunca pueden ser enteros? No tengo muchas ideas. ¿Puede alguien darme alguna idea?

Answer 1

$12a+18b+27c=3(4a+6b+9c)$

$\implies \frac{12a+18b+27c}3=4a+6b+9c$ que es un número entero si $a,b,c$ son todos números enteros

$\implies 3$ divide $(12a+18b+27c)$ si $a,b,c$ son todos números enteros

pero $227\equiv2\pmod 3\not\equiv0\implies 3$ no divide $227$

Por lo tanto, conduce a una clara contradicción.

Answer 2

$3\;$ divide todos los sumandos pero no el rhs $= 227$ . Por lo tanto, no hay solución entera.

Answer 3

En general, si $\rm\:i,j,k,n\in \Bbb Z\:$ entonces $\rm\: i\,a + j\,b + k\,c = n\:$ tiene solución $\rm\:a,b,c\in \Bbb Z\iff gcd(a,b,c)\mid n.\:$ La necesidad $\rm\:(\Rightarrow)\:$ es clara, y la suficiencia $(\Leftarrow)$ se deduce de Bezout, es decir, números enteros de la forma $\rm\:i\,a + j\,b + k\,c\:$ son cerradas bajo resta, por tanto cerradas bajo resto, por tanto cerradas bajo gcd.

Su ejemplo no cumple el criterio: $\rm\: (12,18,27) = 3(4,6,9)=3,\:$ pero $\rm\:mod\ 3\!:\ 227\equiv 2\!+\!2\!+\!7\equiv 2\not\equiv 0.$