Definición de cubierta (cubierta) transformación suave de los colectores: Son diffeomorphisms?

Question

En John Lee el libro de Riemann Colectores, cubriendo la transformación (o de la cubierta de la transformación) de un suave cubriendo mapa de $\pi:\tilde{M}\to M$ (de conectado suave colectores) se define como un suave mapa de $\varphi:\tilde{M}\to\tilde{M}$ tal que $\pi\circ\varphi=\pi$.

Yo estaba esperando que la definición incluye la suposición adicional de que $\varphi$ es un diffeomorphism, pero al parecer, John Lee, no incluye en su definición.

Pregunta: ¿esta definición implica que el $\varphi$ es un diffeomorphism?

Es, claramente, al menos una inmersión ($d\varphi$ está en todas partes inyectiva) debido a $d\pi\circ d\varphi=d\pi$ $\pi$ es un local diffeomorphism. Por otra parte, $\varphi$ mapas de $\tilde{M}$ a sí mismo, por lo $d\varphi$ es bijective en todas partes. Por lo tanto sería suficiente para demostrar que $\varphi$ es bijective. Es que el caso?

Answer 1

Esto es un error, debería haber escrito que una baraja de transformación es una diffeomorphism satisfacer $\renewcommand\phi{\varphi}\pi\circ\varphi = \pi$. He añadido esto a mi online lista de corrección. (Es increíble que nadie se ha dado cuenta de esto en los 18 años el libro ha sido en la impresión!)

Es realmente cierto que sólo asumiendo $\varphi$ es un buen mapa de satisfacciones $\pi\circ\varphi = \pi$ es suficiente para concluir que $\phi$ es un diffeomorphism, pero no parece ser sencilla de probar. Aquí está la mejor prueba de que he sido capaz de llegar; me interesaría saber si alguien sabe de una simple prueba. Las referencias a [ITM] son para mi Introducción a Topológico Colectores, segunda edición.

Teorema. Supongamos $\pi\colon \widetilde M\to M$ es un buen cubrimiento del mapa, y $\phi\colon \widetilde M\to \widetilde M$ es un buen mapa de satisfacciones $\pi\circ\varphi = \pi$. A continuación, $\phi$ es un diffeomorphism.

Prueba. En primer lugar, como el OP se señaló, los hechos que $\pi$ es un local diffeomorphism y $\varphi$ mapas de $\widetilde M$ a garantizar que $\phi$ es un local diffeomorphism, por lo que es suficiente para mostrar que es bijective. Debido a $\varphi$ es una cubierta homomorphism, es en sí una cubierta mapa [ITM, Prop. 11.36], y por lo tanto surjective.

A continuación, vamos a $x\in M$, vamos a $\widetilde M_x$ denotar la fibra $\pi^{-1}(\{x\})$, y deje $m$ ser cualquier punto en $\widetilde M_x$. La inducida por homomorphisms $\pi_*\colon \pi_1(\widetilde M,m) \to \pi_1(M,x)$ $\pi_*\colon \pi_1(\widetilde M,\phi(m)) \to \pi_1(M,x)$ son tanto inyectiva [ITM, Thm. 11.16]. Deje $H,H'\subseteq\pi_1(M,x)$ denotar la imagen respectiva subgrupos. Se sigue de [ITM, Thm. 11.34] que $H$ $H'$ son conjugado subgrupos. Así pues, tenemos un diagrama conmutativo: $\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi_1(\widetilde M,m) @>\displaystyle \phi_*>> \pi_1(\widetilde M,\phi(m))\\ @V \displaystyle\pi_* V V@VV \displaystyle\pi_* V\\ H @>>C> H', \end{CD} donde $C$ es una adecuada conjugación del mapa. Porque tanto vertical de mapas y $C$ son isomorphisms, por lo que es $\phi_*$.

Ahora sabemos que $\phi\colon \widetilde M\to \widetilde M$ es una cubierta mapa que induce un isomorfismo de grupos fundamentales. Vamos $m\in \widetilde M$, $y=\phi(m)$, y considere la posibilidad de la fibra $\widetilde M_{y} = \phi^{-1}(\{y\})\subseteq \widetilde M$. El monodromy acción es transitivo derecho de acción del grupo de $\pi_1(\widetilde M,y)$ $\widetilde M_y$ [ITM, Thm. 11.22], y el grupo de isotropía el punto de $m\in \widetilde M_y$ es la imagen de $\phi_*$, que en este caso es todo de $\pi_1(\widetilde M,y)$. Ya que la acción es transitiva, esto significa que la fibra es un solo punto, y por lo tanto $\phi$ es inyectiva.

Answer 2

Pensé que la siguiente era todo verdad y la perfección estándar sólo para topológico que cubre los mapas de $\pi$: Si decimos que una cubierta de transformación no es más que un continuo $\phi$$\pi\circ\phi=\pi$, a continuación, la cubierta de las transformaciones de formar un grupo, y en particular de cada uno es bijective.

(A la derecha? Decir $\phi(p)=q$. Sin duda se puede encontrar una $\psi$ definido sólo en un barrio de $q$, de modo que $\psi(\phi(x))=x$ cerca de $q$. Ahora usted puede "continuar" $\psi$ a algo global, y la distinción de las fibras muestra que $\psi(\phi(x))=x$ a nivel mundial...)