Atravesar el infinito cuadrado de la cuadrícula

Question

Supongamos que empezamos a $(0.5,0.5)$, en un infinito unidad de cuadrados de la cuadrícula, y nuestro objetivo es recorrer cada cuadrado del tablero.

Al mover $n$ uno debe tomar $a_n$ pasos en una de las direcciones, norte,sur, este u oeste. Y cada cuadrado caminamos se marca como visitado, no se nos permite caminar a través de una visitó la plaza dos veces.

Hay una secuencia de instrucciones, que podemos visitar en cada cuadrado de la junta de exactamente una vez si $a_n=n$?

Hay una secuencia, si se nos permite caminar en direcciones diagonales así?

Existe un algoritmo general para comprobar, dado $a_n$, si existe una ruta?

Hay una ruta de acceso en cualquiera de los casos anteriores para $a_n=n^2$?

Answer 1

Si su $a_n$ están aumentando, esto siempre es imposible.

Supongamos (por simetría) que empieza por ir al sur. Más pronto o más tarde, tendrá que ir al norte. Sin embargo, después de su primera norte de movimiento, usted tendrá una forma de U, de anchura $a_i$ en la red, y no hay manera de que usted más tarde para entrar en el interior de la U desde el norte y volver de nuevo sin tener un $a_j$ disponible que es en la mayoría de las $a_i-2$.

Este argumento también casi muestra que es imposible con un simple no-disminución de la secuencia de $a_n$'s.

Las cosas parecen ser más tenebroso si los movimientos en diagonal (como los obispos en el ajedrez).