Voy a seguir a @ccc consejos y responder a mi propia pregunta explicando el argumento de Friedman, pero dando algunos detalles más. Yo la he hecho wiki de la comunidad (por la razón habitual que luego no se ve a la ganancia de responder a mi propia pregunta).
Notación: si $X$ es un conjunto y $n\in\mathbb{Z}_{\geq1}$ $X^{(n)}$ denota el conjunto de los subconjuntos de a $X$ del tamaño de la $n$.
Empezamos con
El infinito Ramsey Teorema: Si $X$ es countably infinito y nosotros de color $X^{(n)}$ $k\in\mathbb{Z}_{\geq1}$ colores (que es, le damos un mapa de $X^{(n)}\to\{1,2,\ldots,k\}$), a continuación, hay una infinita monochramatic subconjunto de $X$ (que es hay algo de infinito $Y\subseteq X$ de manera tal que la inducida por el mapa de $Y^{(n)}\to\{1,2,\ldots,k\}$ es constante).
La prueba es corta, pero inteligente, y es en la wikipedia por ejemplo. La prueba en el caso $k=2$ por un ingenioso inducción en $n$ y, a continuación, hace caso general por inducción en $k$. Voy a omitir los detalles.
Claramente este es un resultado con el mismo sabor como el conjunto de delgadas teorema, pero como la ccc señala, esto no es lo que queremos porque en la delgada teorema hemos ordenado $k$-tuplas, no subconjuntos de tamaño $n$. Así que necesitamos una modificación de menor importancia para lidiar con esto. Aquí es cómo va. Definir una relación de equivalencia en $\mathbf{Z}^k$, llamado "ser del mismo tipo de orden", por ejemplo: decir $a=(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ $b=(b_1,b_2,\ldots,b_k)$ son equivalentes si para todas las $1\leq i,j\leq k$ tenemos $a_i<a_j$ fib $b_i<b_j$ (tenga en cuenta que esto implica $a_i=a_j$ fib $b_i=b_j$). Claramente hay sólo un número finito de clases de equivalencia. Dicen que no hay $p=p(k)$ clases de equivalencia. Llamamos a las clases de equivalencia "tipos de orden".
Ahora aquí está la prueba de Friedman de la delgada teorema. Dado $f$ como en el teorema, definir $H:\mathbf{Z}^k\to\{1,2,\ldots,p+1\}$ $H(x)=f(x)$ si $1\leq f(x)\leq p$, e $H(x)=p+1$ lo contrario. Ahora aplicamos el infinito Teorema de Ramsey $p$ veces! Primero aplicamos a la coloración de las $\mathbf{Z}^{(k)}$ así: dado un subconjunto de a $\mathbf{Z}$ del tamaño de la $k$, orden de los elementos como $x_1<x_2<\ldots<x_k$. Ahora el color de este conjunto con el color $H((x_1,x_2,\ldots,x_k))$.
La aplicación de Ramsey obtenemos un subconjunto infinito $A_1$ $\mathbf{Z}$ que es monocromática. Ahora la aplicamos a la coloración de las $(A_1)^{(k)}$ así: dado un subconjunto de tamaño $k$ escribir como $x_2<x_1<x_3<x_4<\ldots<x_k$ y
color el subconjunto con el color de la $H((x_1,x_2,\ldots,x_k))$. Tenemos una infinita subconjunto $A_2$ $A_1$ que es monocromática. Continuamos de esta manera, la aplicación de Ramsey para cada tipo de orden. Por ejemplo, podríamos hacer el pedido tipo de $x_1=x_2<x_3<x_4<\ldots$ y nos ocupamos de esto por la coloración $k-1$-tuplas de números enteros mediante la solicitud y repitiendo el primer elemento y, a continuación, aplicar la $H$.
El resultado es un infinito subconjunto $A_p$ de los enteros con la propiedad de que $H(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ sólo depende de la clase de orden de $(a_1,a_2,\ldots,a_k)$. Pero sólo hay $p$ tipos de orden, y $H$ es de $p+1$ de los valores, por lo $H$ $A^k$ no es surjective y, por tanto, $f$ no.
