Sea $\phi(x) = x^p$ sea el automorfismo de Frobenius en $\mathbb F_{p^n}$. Podemos ver $\mathbb F_{p^n}$ como un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre $\mathbb F_p$. En este caso, $\phi$ es una transformación lineal. ¿Cuáles son sus polinomios característico y minimal? ¿Cuáles son sus formas canónica de Jordan y racional? Sé que $\phi$ satisface $x^n - 1$, por lo que sus polinomios minimal y característico deben dividir a este. Pero, no logro avanzar mucho más allá de esto. ¿Alguna sugerencia?
Respuesta
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Si el polinomio minimal $m(T)=\sum_{i=0}^k a_iT^i\in F_p[T]$ del automorfismo de Frobenius tuviera un grado $k
Por lo tanto, el polinomio minimal y el polinomio característico son ambos iguales a $T^n-1$.
Editar: Lo siento, me perdí la pregunta sobre las formas canónicas. La forma canónica de Jordan es bastante interesante. Escribimos $n=mp^t$, donde $t\ge0$ es un entero y $m$ es coprimo con $p$. Los ceros del polinomio minimal $$ T^n-1=(T^m-1)^{p^t} $$ son entonces raíces de la unidad de orden que divide a $m$. Todas esas raíces ocurren como eigenvalores de $\phi$, pero usualmente solo en un campo más grande (como estamos interesados en la forma canónica de Jordan, estábamos más o menos dispuestos a ir a un cierre algebraico de todos modos). Todos estos eigenvalores son ceros tanto del polinomio minimal como del polinomio característico de multiplicidad $p^t$, por lo que obtenemos $m$ bloques de Jordan de tamaño $p^t$.
Como ejemplo, consideremos el campo $F_{16}$. El polinomio minimal de $\phi$ es entonces $T^4+1=(T+1)^4$. Por lo tanto, $\lambda=1$ es el único eigenvalor de $\phi$. Los núcleos de las potencias (composición) $(\phi-id)^k$, $k=1,2,3,4$ son los ceros de los polinomios $x^2+x$, $x^4+x$, $x^8+x^4+x^2+x$ y $x^{16}+x$ respectivamente. Estos pueden identificarse como el subcampo $F_2$, el subcampo $F_4$, el núcleo del mapa de traza $Tr:F_{16}\rightarrow F_2$, y el $F_{16}$ entero, respectivamente.
