si la matriz tal $AA^T=A^2$ entonces $A$ ¿es simétrico?

Question

Dejar que la matriz $A_{n\times n}$ es una matriz real, tal $AA^T=A^2$ La transposición de la matriz $A$ se escribe $A^T$ ,

demostrar que :

la matriz $A$ es Matrices simétricas

tal vez este problema tiene más methos, porque se sabe que si la matriz $A$ es simétrica, entonces tenemos $AA^T=A^2$ Pero para mi problema, no puedo probarlo. Gracias.

Answer 1

Aunque no es un duplicado exacto, el método para resolver Una condición equivalente para que una matriz real sea sesgada-simétrica se aplica. Brevemente, para matrices cuadradas reales, $\langle X,Y\rangle = \operatorname{trace}(Y^TX)$ define un producto interior y las matrices simétricas son ortogonales a las matrices asimétricas. Ahora, escribe $A=H+K$ , donde $H=\frac12(A+A^T)$ es la parte simétrica y $K=\frac12(A-A^T)$ es la parte asimétrica. Entonces $AA^T=A^2$ implica que $(H+K)K=0$ y a su vez $HK=-K^2=K^TK$ . Tomando la traza en ambos lados, obtenemos $\langle K,H\rangle=\langle K,K\rangle$ . Desde $\langle K,H\rangle=0$ se deduce que $\langle K,K\rangle=0$ y $K=0$ es decir $A$ es simétrica.

Answer 2

La solución sugerida por user1551 es muy buena, pero, sólo por diversión, aquí hay un segundo enfoque.

Supongamos que $AA^T = AA$ . Primero demostramos lo siguiente:

Reclamación: $AA = \underbrace{AA^T}_P = A^T A^T = \underbrace{A^TA}_Q$

Prueba: Transponiendo $AA^T = AA$ da $AA^T = A^T A^T$ . Ahora sólo tenemos que preocuparnos de $Q$ . Con un poco de manipulación, nos damos cuenta de que $$B^2 = A^TAA^TA = A^TA^TA^TA = AAA^TA =AAAA= AA^T AA^T = Q^2.$$ Desde $P,Q$ son matrices positivas, $P^2 = Q^2 \Rightarrow P=Q$ (unicidad de las raíces cuadradas positivas) y la reclamación está probada.

Desde $A$ tiene entradas reales, $A^T$ es igual a su transposición conjugada $A^*$ por lo que hemos demostrado que $A$ es normal . En este punto el problema es bastante fácil ya que $A = U D U^*$ para alguna diagonal $D$ y algunos unitarios $U$ . Desde $AA^* = A^2$ sigue $DD^* = D^2$ lo que implica $D$ tiene entradas reales, es decir $D=D^*$ . A partir de aquí calculamos $$ A^T = A^* = (UDU^*)^* = UD^*U^* = UDU^* = A$$ así que $A$ es simétrica.

Answer 3

La respuesta de Mike está muy bien, pero para divertirse, he aquí un tercer enfoque. Se desarrolla en la misma línea que la de Mike, pero utilizando técnicas más básicas.

Obsérvese que si $W$ es una matriz simétrica o asimétrica y $W^2=0$ entonces $W=0$ . Esto se debe a que $\|Wx\|_2^2=x^TW^TWx=\pm x^TW^2x=0$ para todos $x$ y por lo tanto $Wx\equiv 0$ .

Ahora, desde la condición $AA^T=A^2$ obtenemos $AA^T=AA=A^TA^T$ y a su vez \begin{cases} AA^TAA^T = AAAA = AA^TA^TA,\\ A^TAAA^T = A^TA^TA^TA^T = AAAA = AAA^TA = A^TA^TA^TA = A^TAA^TA. \end{cases} Por lo tanto, $(AA^T-A^TA)^2 = 0$ . Desde $W_1=AA^T-A^TA$ es simétrico y $W_1^2=0$ deducimos que $W_1=0$ es decir $AA^T=A^TA$ .

Pero luego tenemos $(A-A^T)^2 = AA-AA^T-A^TA+A^TA^T=0$ . Desde $W_2=A-A^T$ es simétrica y $W_2^2=0$ concluimos que $W_2=A-A^T=0$ es decir $A$ es simétrica.

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Editar: Como algunos usuarios han señalado que la declaración es trivial cuando $A$ es invertible, también desarrollaremos una prueba en esta línea. Por las condiciones dadas, $\ker A=\ker A^T$ :

1. $\ker A \subseteq \ker A^T$ porque $Ax=0 \Rightarrow \|A^Tx\|^2=x^TAA^Tx=x^TA(Ax)=0.$
2. $\ker A^T \subseteq \ker A$ porque $$ A^Tx=0 \Rightarrow AAx=AA^Tx=0 \Rightarrow Ax\in\ker A\subseteq\ker A^T \Rightarrow \|Ax\|^2=x^T(A^T(Ax))=0. $$

Por lo tanto, mediante un cambio de base ortonormal, podemos suponer que $A=\pmatrix{B&0\\ 0&0_{k\times k}}$ , donde $B$ es invertible, $BB^T=B^2$ y $k$ es la nulidad de $A$ . Por lo tanto, $B^T=B^{-1}(BB^T)=B^{-1}(B^2)=B$ y $A$ es simétrica.

Answer 4

Sólo para añadir un enfoque diferente:

1. Queremos demostrar el hecho más general para las matrices complejas obtenidas sustituyendo la transposición por la transposición hermitiana.

2. utilizar un Descomposición de Schur para reducir al caso de $A$ triangular superior.

3. Para $A$ triangular superior, calculando los términos (1,1) de $AA^T$ y $A^2$ rinde $A_{11}^2 = \sum_{j=1}^n |A_{1j}|^2$ . Comparando los valores absolutos, es más fácil ver que $A_{11}$ debe ser real y $A_{1j}=0$ para todos $j\neq 1$ .

4. seguir así por inducción, demostrando cada vez que todos los términos de la $i$ -de la fila son cero aparte de la de la diagonal

5. Ha demostrado que su triángulo superior $A$ es diagonal real y, por tanto, hermitiana.

Answer 5

Dado $AA^t=A^2$ . Previamente a la multiplicación por $A^{-1}$ . Usted obtiene $A^t=A$ lo que significa que la matriz es simétrica. $AA^{-1}=A^{-1}A=I_d\,\,$ matriz de identidad)

{El resultado anterior sólo es cierto si $A$ es invertible porque sólo entonces premultiplicando por $A^{-1}$ se define..}