Difícil integral: $\sin^3\theta / (\sin^3\theta - \cos^3\theta)$

Question

La pregunta es, encontrar la integral de la función:

$\sin^3\theta / (\sin^3\theta - \cos^3\theta)$

La única cosa que podía pensar era en factores el denominador. Pero entonces yo no podía hacer ningún progreso.

Answer 1

Si todo lo demás falla, la de Weierstrass sustitución de hacer cosas como este, pero sólo si usted puede tolerar desordenado ecuaciones algebraicas que requieren soluciones numéricas. Vamos a intentarlo: $$ \begin{align} & {} \qquad \int \frac{\Big(2t/(1+t^2)\Big)^3}{\Big(2t/(1+t^2)\Big)^3 - \Big((1-t^2)/(1+t^2)\Big)^3} \; \frac{2\;dt}{1+t^2} \\ \\ \\ & = \int \frac{(2t)^3}{(2t)^3 - (1-t^2)^3} \; \frac{2\;dt}{1+t^2} \\ \\ \\ & = \int\frac{8t^3}{t^6 - 3t^4 + 8t^3 + 3t^2 -1} \; \frac{2\;dt}{1+t^2}. \end{align} $$ En este punto creo que tendríamos el resultado a los métodos numéricos para el factor de la cosa, pero parece como si a los de sexto grado del polinomio sería el producto de dos de primer grado de los factores y dos irreductible cuadrática factores. Cuando, a continuación, encontrar la fracción parcial de la descomposición, no tendría que ser la pregunta que de donde usted consigue $\text{constant}/\text{irreducible quadratic}$ (así que vas a tener un arco tangente) y donde te $t/\text{irreducible quadratic}$ (así que vas a tener un logaritmo).

Answer 2

Tomamos ventaja de la simetría, de hecho, expanda. Vamos $$I=\int \frac{\sin^3\theta\,d\theta}{\sin^3\theta-\cos^3\theta} \qquad\text{and}\qquad J=\int \frac{\cos^3\theta\,d\theta}{\sin^3\theta-\cos^3\theta}.$$ Tenga en cuenta que $$\frac{\sin^3\theta}{\sin^3\theta-\cos^3\theta}=1+ \frac{\cos^3\theta}{\sin^3\theta-\cos^3\theta},$$ y por lo tanto $$I-J=\theta.$$ Si podemos encontrar la $I+J$ habremos finalizado. Así que queremos encontrar $$\int\frac{\sin^3\theta+\cos^3\theta}{\sin^3\theta\cos^3\theta}\,d\theta= \int\frac{(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin\theta\cos\theta)}{(\sin\theta-\cos\theta)(\sin^2\theta+\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta) }\,d\theta.$$ Deje $u=\sin\theta-\cos\theta$. A continuación,$du=(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta$. También, $u^2=1-2\sin\theta\cos\theta$. A partir de esto nos encontramos con que $\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin\theta\cos\theta=\frac{1+u^2}{2}$$\sin^2\theta+\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta=\frac{3-u^2}{2}$. Así $$I+J=\int\frac{1+u^2}{u(3-u^2)}\,du.$$ Hacemos un parcial parcial fracción de descomposición:
$$\frac{1+u^2}{u(3-u^2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{u}+\frac{4u}{3-u^2}\right).$$ Integrar: $I+J=(1/3)\ln\left(\dfrac{|u|}{(3-u^2)^2}\right).$