Suma de números primos

Question

Dejemos que $p$ denota un primo, y deja que $\{x\}$ denotan la parte fraccionaria de $x$ .

Supongamos que la siguiente afirmación es verdadera para todos los números reales no enteros $x$ : $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{p\leq n}^\ \frac{\ln(p)}{p}\{ px \}}{\sum_{p\leq n}^\ \frac{\ln(p)}{p}}=\frac{1}{2}.$$

¿Implica eso que $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{p\leq n}^\ 1\cdot\{ px \}}{\sum_{p\leq n}^\ 1}=\frac{1}{2}?$$

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial, pero la conclusión se puede demostrar (directamente, sin utilizar la hipótesis) cuando $x$ es un número racional. Supongamos que $x=a/b$ en términos mínimos es fijo. Entonces $$\sum_{p\le n} \bigg\{\!\frac{pa}b\!\bigg\} = \sum_{\substack{1\le c\le b \\ (c,b)=1}} \sum_{\substack{p\le n \\ pa\equiv c\!\pmod{\!b}}} \bigg\{\!\frac{pa}b\!\bigg\} + \sum_{p\mid b} \bigg\{\!\frac{pa}b\!\bigg\},$$ porque cada primo $p$ o bien divide $b$ o es relativamente primo de $b$ , en cuyo caso $pa$ es relativamente primo de $b$ también. Desde $\{t/b\}$ es periódico módulo $b$ esto se convierte en $$\begin{align*} \sum_{p\le n} \bigg\{\!\frac{pa}b\!\bigg\} &= \sum_{\substack{1\le c\le b \\ (c,b)=1}} \bigg\{\!\frac{c}b\!\bigg\} \sum_{\substack{p\le n \\ pa\equiv c\!\pmod{\!b}}} 1 + O(1) \\ &= \sum_{\substack{1\le c\le b \\ (c,b)=1}} \frac{c}b \pi(n;b,c) + O(1), \end{align*}$$ y así $$\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{p\le n} \big\{\!\frac{pa}b\!\big\}}{\sum_{p\le n} 1} = \lim_{n\to\infty} \sum_{\substack{1\le c\le b \\ (c,b)=1}} \frac{c}b \frac{\pi(n;b,c)}{\pi(n)}.$$ El teorema del número primo para las progresiones aritméticas nos dice que $\pi(n;b,c)/\pi(n)$ tiende a $1/\phi(b)$ cuando $n$ tiende a infinito (ya que $c$ y $b$ son relativamente primos); por lo tanto $$\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{p\le n} \big\{\!\frac{pa}b\!\big\}}{\sum_{p\le n} 1} = \frac1{\phi(b)} \sum_{\substack{1\le c\le b \\ (c,b)=1}} \frac{c}b;$$ esto puede ser fácilmente visto como igual a $\frac12$ por emparejamiento $c$ con $b-c$ en la suma (que funciona para todos los $b\ge3$ ).