La prueba de la Delta de Dirac del cernido de la propiedad

Question

Una forma común para caracterizar la función delta de dirac $\delta$ es por las dos propiedades siguientes:

$$1)\ \delta(x) = 0\ \ \text{for}\ \ x \neq 0$$

$$2)\ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\ dx = 1$$

He visto una prueba de la clasificación de la propiedad para la función delta de estas dos propiedades de la siguiente manera:

Comenzando con

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-t)f(x)\ dx$$

para algunos "suficientemente suave función"$f$, ya que el $\delta(x - t) = 0$ $x \neq t$ podemos restringir la integral a algunos epsilon intervalo alrededor de a $t$

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-t)f(x)\ dx = \int_{t-\epsilon}^{t+\epsilon}\delta(x-t)f(x)\ dx$$

En este intervalo infinitesimal, $f$ es de "aproximadamente constante" y así nos lo puede quitar de la integral

$$\int_{t-\epsilon}^{t+\epsilon}\delta(x-t)f(x)\ dx = f(t)\int_{t-\epsilon}^{t+\epsilon}\delta(x-t)\ dx = f(t)$$

Esta prueba parece un poco demasiado de la mano ondulado para mí. Los puntos de encuentro problemático están en citas. ¿Qué se entiende por "suficientemente suave" en este caso? Es continua y suficiente? También, ¿cómo es exactamente la extracción de la función de la integral hecho con rigor, sin suponer que se trata de "aproximadamente constante"? Yo he visto a este hecho la prueba con los no-estándar de análisis y entiendo que la función delta es, por naturaleza, un lugar de la mano "ondulado" objeto para que una rigurosa prueba el uso de estas dos propiedades pueden incluso no existir. Todavía me pregunte si alguien puede, tal vez, de hacer lo anterior prueba rigurosa u ofrecer una nueva prueba sin apelar a la no-estándar de análisis.

(No estoy muy seguro de lo que las etiquetas para incluir a esta cuestión. Si alguien pudiera volver a etiquetar para mí eso sería muy apreciada

Answer 1

Bien, como usted menciona, no verdaderamente riguroso tratamiento que se puede dar con una descripción de la Delta de Dirac función - no existe la función que realmente cumple con los requisitos. Por lo tanto, no voy a tomar mucho esfuerzo para hacer de la siguiente demasiado precisa.

Donde dice "suficientemente suave", que en realidad no necesita nada en absoluto! Lo $f$ es, como el tiempo es finito en casi todas partes, el producto con la función delta de se $0$ lejos de ser un barrio de $t$, por lo que puede restringir la integral como la que.

Para la extracción de $f$, siendo continua en un circuito cerrado de neighbourood de $x=t$ es suficiente. Si $f$ es continua a través de$ [ t-\epsilon, t+ \epsilon ] $, entonces por el teorema del valor Extremo se alcanza el máximo y el mínimo en ese intervalo, llamarlos $ M $ $m$ respectivamente.

Entonces a partir de la $ m \leq f(x) \leq M$ es de ese rango, $$ m=\int^{t+\epsilon}_{t-\epsilon} m \delta(x-t) dx \leq \int^{t+\epsilon}_{t-\epsilon} f(x) \delta(x-t) dx \leq \int^{t+\epsilon}_{t-\epsilon} M \delta(x-t) dx = M.$$

Ahora como $\epsilon \to 0$ ambos $m$ $M$ $f(t)$ $f$ es continua, por el teorema del sándwich, $$ \int^{t+\epsilon}_{t-\epsilon} f(x) \delta(x-t) dx \to f(t) $$ as $\epsilon \to 0$.

Answer 2

La teoría de las Distribuciones por J. Ian Richards y Heekyung Youn da pruebas rigurosas de cosas como esta, sin necesidad de que el análisis funcional, la topología, o teoría de la medida.

Sin duda la prueba de que das es muy de la mano "ondulado". En particular, los dos a la definición de propiedades que usted da no puede ser tomado literalmente, si uno concibe de una función como algo donde poner en un número $x$ y obtener un número de $f(x)$. Para tomar esas dos propiedades es intuitiva pero muy muy de la mano "ondulado".