Mostrar que $\operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$

Question

Sé que por el hecho de que $\operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$ donde $A$ $B$ $m \times n$ matrices.

Pero de alguna manera, no me parece que este tan intuitivo como el de la multiplicación de la versión de este hecho. El rango de $A$ más el rango de $B$ podría tener así más que las columnas de a $(A+B)$! ¿Cómo puedo mostrar para demostrar que esto es realmente cierto?

Answer 1

Deje que las columnas de a $A$ $B$ $a_1, \ldots, a_n$ $b_1, \ldots, b_n$ respectivamente. Por definición, el rango de $A$ $B$ son las dimensiones de la lineal se extiende $\langle a_1, \ldots, a_n\rangle$$\langle b_1, \ldots, b_n\rangle$. Ahora el rango de $A + B$ es la dimensión de la lineal del espacio de las columnas de a $A + B$, es decir, la dimensión de la lineal span $\langle a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n\rangle$. Desde $\langle a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n\rangle \subseteq \langle a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n\rangle$ el resultado de la siguiente manera.

Edit: permítanme elaborar en la última instrucción. Cualquier vector $v$ $\langle a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n\rangle$ puede ser escrito como alguna combinación lineal $v = \lambda_1 (a_1 + b_1) + \ldots + \lambda_n (a_n + b_n)$ para algunos escalares $\lambda_i$. Pero entonces también podemos escribir $v = \lambda_1 (a_1) + \ldots + \lambda_n (a_n) + \lambda_1 (b_1) + \ldots + \lambda_n (b_n)$. Esto implica que también se $v \in \langle a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n\rangle$. Podemos hacer esto para cualquier vector $v$, por lo que

$$\forall v \in \langle a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n\rangle: v \in \langle a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n\rangle$$

Esto es equivalente a decir $\langle a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n\rangle \subseteq \langle a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n\rangle$.

Answer 2

Si $f,g:V\to W$ son lineales, mapas, entonces tenemos $$(f+g)(V)\subset f(V)+g(V),$$ lo que implica $$\mathrm{rk}(f+g)=\dim\ (f+g)(V)\le\dim\ (f(V)+g(V))$$ $$\le\dim f(V)+\dim g(V)=\mathrm{rk}(f)+\mathrm{rk}(g).$$ Para justificar la primera pantalla, tenga en cuenta que un vector de $W$ $(f+g)(V)$ si y sólo si es igual a $f(v)+g(v)$ algunos $v$$V$, mientras que, en $f(V)+g(V)$ si y sólo si es igual a $f(v)+g(v')$ algunos $v$$v'$$V$.

Answer 3

Una imagen intuitiva:

Utilice la siguiente caracterización de la categoría: descomponer $A$ en su componente de vectores columna. Es decir, $A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$, donde cada una de las $a_i$ $m\times 1$ vector columna. Entonces el rango de a $A$ es igual a la dimensión del subespacio vectorial generado por $a_1, \ldots, a_n$.

Un vector de la imagen de $A+B$ va a ser una combinación lineal de $a_1, \ldots, a_n$$b_1, \ldots, b_n$. Así tenemos que el rango de $A+B$ es mayor el tamaño de la lineal subespacio generado por los $2n$ vectores.

Pero el tamaño de ese subespacio lineal está dada por el número máximo de vectores linealmente independientes uno puede elegir entre ellos. Podemos elegir en la mayoría de las $rank(A)$ muchas de las $a_i$, y en la mayoría de las $rank(B)$ muchas de las $b_i$. Así que esto le da una cota superior de a $rank(A)+rank(B)$.

Answer 4

Esto es suficiente para mostrar que, Fila rango $(A + B)$ ≤ Fila rango $A + $Fila rango $B$ $(see~here)$

es decir, para mostrar $\dim <a_1 + b_1, a_2 + b_2, …, a_n + b_n>$$\leq \dim <a_1, a_2, … , a_n>$$+\dim <b_1, b_2,$$..., b_n>$ [Dejar que los vectores fila de a y B como $a_1, a_2, … , a_n$ $b_1, b_2,…, b_n$ respectivamente]

Vamos $\{A_1, A_2, …, A_p\}$ & $\{B_1, B_2, … , B_q\}$ ser las bases de y respectivamente.

Caso I:$p, q ≥ 1$ Elija $v\in<a_1 + b_1, a_2 + b_2, …, a_n + b_n>$ A continuación, $v = c_1(a_1 + b_1) + … + c_n(a_n + b_n) [$para algunos escalares $c_i] = ∑c_i (∑g_jA_j) + ∑c_i(∑h_kB_k)$ (para algunos escalares $g_j, h_k$] es decir,$dim <a_1 + b_1, a_2 + b_2, …, a_n + b_n> \le p + q$. Por lo tanto, etc.

Caso II: $p = 0$ o $q = 0$: Una de las bases está vacía y la correspondiente matriz se convierte en cero. Resto sigue de inmediato.