Mermin-Wagner teorema de la presencia de núcleo duro de las interacciones

Question

Parece bastante común en la física teórica de la literatura para ver las aplicaciones de la "Mermin-Wagner teorema" (ver wikipedia o scholarpedia para algunos limitado de fondo) para sistemas con núcleo duro de las interacciones; por ejemplo a la conclusión de que el genuino cristal de fases para un sistema de discos duros (con posibles interacciones medicamentosas) no puede existir en 2 dimensiones. Si esta afirmación ha sido probado rigurosamente hace un par de años (ver este artículo), es conocido en general que la presencia de núcleo duro de interacciones pueden llevar a fases con rotura de simetría continua (un ejemplo específico es la siguiente).

Para mantener las cosas simples, me permiten centrarme en el vecino más cercano de la tirada de los modelos en la plaza de celosía, con tiradas de tomar valores en el círculo unidad. Así que vamos a considerar una formal Hamiltoniano de la forma $$ \sum_{i\sim j} V(S_i,S_j), $$ con $V$ es una función continua, que se supone ser invariantes bajo la acción de $SO(2)$: $V(r_\theta S_i, r_\theta S_j) = V(S_i,S_j)$, donde $r_\theta$ gira al girar un ángulo $\theta$. En ese caso, se sabe que todos los puros de las fases del modelo son invariantes bajo la acción de $SO(2)$. (Tenga en cuenta que nosotros no requieren $V$ a de ser liso, de modo que el habitual, tanto heurística y rigurosa, los argumentos de confiar en una expansión de Taylor y un spin-onda argumento no se aplican inmediatamente; que uno puede hacer así fue demostrado aquí). Sustancialmente más general los resultados son realmente conocido, pero esto será suficiente para mi pregunta.

Lo que me interesa es lo que ocurre para los modelos de este tipo en la presencia de núcleo duro de las interacciones. No hay resultados generales son conocidos, y la situación resultó ser sutil. En efecto, consideremos por ejemplo el Patrascioiu-Seiler modelo, en el que $$ V(S_i,S_j) = \begin{casos} -S_i\cdot S_j & \text{si }|\delta(S_i,S_j)|\leq\delta_0,\\ +\infty & \text{lo contrario,} \end{casos} $$ donde $\delta(S_i,S_j)$ denota el ángulo entre las tiradas de $S_i$ y $S_j$ y $\delta_0>0$ es algún parámetro. En otras palabras, este modelo coincide con la clásica XY modelo, aparte de la restricción adicional de que los vecinos del tiradas no difieren demasiado. Para este modelo, se ha demostrado aquí que, cuando $\delta_0<\pi/4$, existen (no degenerada) fases en las que la rotación de la invariancia está roto. Sin embargo, se espera que las fases obtenidas, por ejemplo, tomando el límite termodinámico a lo largo de cajas cuadradas con gratis, periódica o constante de las condiciones de contorno deben ser de rotación invariante.

Así que, ahora, aquí está mi pregunta: ¿hay alguna heurística física argumentos que apoyan la validez de una versión de la "Mermin-Wagner teorema" en este tipo de situaciones? Todos los argumentos heurísticos sé de fallar en tal contexto. Tener una buena heurística argumentos podría ayudar mucho en la ampliación de las pruebas rigurosas para cubrir este tipo de situaciones.

Edit: me Deja precisa mi pregunta, como el (bastante largo) discusión con Ron Maimón a continuación muestra que no he dicho en una manera suficientemente clara. Estoy que no estás interesado en una discusión de por qué el contra-ejemplo dado anteriormente conduce a una violación de MW teorema y si es físicamente realista (como que a mí respecta, su principal relevancia para mostrar que uno tiene que hacer algunas suposiciones sobre la interacción de $V$ a fin de tener la rotación de la invariancia de todos infinito-volumen de Gibbs de los estados, y esto es exactamente lo que este ejemplo). Lo que me interesa realmente es la siguiente: ¿existe heurística (pero formulado de una manera matemática, no sólo en algunas vagas observaciones) los argumentos con que los físicos que se pueden derivar de la MW teorema de la presencia de núcleo duro de las interacciones? Incluso podría estar interesado en los argumentos que se aplican en ausencia de núcleo duro de las interacciones, pero cuando $V$ es no diferenciable (aunque en este caso se tratan con rigor en la referencia antes mencionada).

Answer 1

En primer lugar, voy a traducir los pasajes pertinentes en su papel de mathematese.

El argumento en su referencia

Usted está estudiando un X-Y modelo con la restricción de que los vecinos del tiradas siempre tiene que estar dentro de un determinado ángulo de cada uno de los otros. Definir la colección de estadística-mecánica de Gibbs distribuciones con una determinada condición de límite en el infinito, como el de los límites de obtener más y más lejos. A continuación, tenga en cuenta que si el campo en la frontera hace girar girar alrededor de la parte superior a la parte inferior de la cantidad máxima posible, a continuación, los giros son bloqueados en su lugar, - - - que no se puede mover, porque necesitan hacer una liquidación, y que a menos que estén en el máximo ángulo posible, ellos no pueden hacer la liquidación.

El uso de estas condiciones de contorno, no hay energía libre, no es la termodinámica, no hay spin-ola límite, y el Mermin Wagner teorema de falla.

También afirman que el teorema de falla con una traducción invariante de la medida, que está dado por el promedio de la misma cosa en diferentes centros. Intenta hacer la cosa más físico, permitiendo que la condición de contorno a fluctuar alrededor de la media por un poco de $\delta$. Pero en el fin de mantener el límite de la condición del bobinado apretado, como el tamaño de la caja $$ N tiende a infinito, $\delta$ debe reducirse a medida que los $1\over$ N, y el resultado de la energía Libre de su configuración siempre será subextensive en el infinito límite del sistema. Si $\delta$ no encoge, las configuraciones siempre aleatorizar sus ángulos, como la Mermin-Wagner teorema dice.

Los fracasos de la Mermin-Wagner teorema vienen todas de esta físicamente imposible situación límite, no es realmente a partir de la singular potenciales. Forzando el número permitido de configuraciones a ser exactamente 1 para todos los intentos y propósitos, está creando una situación en la que cada valor medio del ángulo completamente distinto, representante en el límite termodinámico. Esto hace que la energía como una función del ángulo medio discontinuo (en realidad, la energía es infinita, excepto cerca de la una de la configuración), y hace que sea imposible establecer spin olas.

Este tipo de argumento tiene una 1d analógica, donde el analógica de Mermin-Wagner es mucho más fácil de probar.

1-dimensional analogía mecánica

Para ver que este resultado no es Mermin-Wagner culpa, considerar que es mucho más fácil unidimensional teorema--- no puede ser de 1d sólido (de largo alcance de traslación de la orden). Si usted hace una potencial entre los puntos que es infinito en una cierta distancia D, se puede romper este teorema también.

Lo que tienes que hacer es imponer la condición de que hay N partículas, y la N-ésima partícula está a una distancia de ND de la primera. A continuación, las partículas se ven obligados a estar a la derecha en el borde del infinito bien, y se obtiene la misma violación: se forma una 1d cristal sólo mediante la imposición de condiciones de contorno en una traducción invariante potencial.

El argumento de 1d que no puede haber ninguna orden de cristal viene de señalar que un defecto local se desplazará a la posición media arbitrariamente lejos, así que a medida que agrega más defectos, usted va a lavar la posición de pedido.

Mermin-Wagner no se ve afectada

El estándar de argumentos para la Mermin-Wagner teorema de la no necesidad de la modificación. Están asumiendo que hay un real thermoodynamic sistema, con un valor distinto de cero extensa de la energía libre, entropía proporcional al volumen, y este es violado por su ejemplo. El caso de exactamente cero la temperatura también es algo análogo--- no tiene extensa de la entropía, y exactamente a cero de la temperatura, se rompe la simetría.

Si usted tiene una extensa entropía, hay una maravillosa superposición de la propiedad, que es esencial para la forma en que los físicos demostrar la suavidad de la macroscópico de energía libre. La distribución de Gibbs en dos ángulos infinitamente separados suma casi el mismo configuraciones exactas (en el sentido de que para un pequeño ángulo suficientemente, usted no puede decir a nivel local que cambió, porque el local fluctuaciones del pantano de la media, por lo que el local configuraciones no aviso)

La enorme, casi completa, de la superposición entre las configuraciones en la vecina ángulos demuestra que la termodinámica promedio potenciales son mucho, mucho más suave que el de posiblemente singular potenciales que entran en la descripción microscópica. Usted siempre obtener una ecuación cuadrática spin-onda de densidad, incluso en el caso de la modelo que mencionas, siempre que tengas una extensa energía libre.

Una vez que usted tiene una ecuación cuadrática spin-la energía de las olas, el Mermin Wagner teorema de la siguiente manera.

Respuesta rápida

las distribuciones de Gibbs para la orientación de $\theta$ y las distribuciones de Gibbs para la orientación de $\theta'$ siempre incluyen localmente la superposición de las configuraciones como $\theta$ enfoques $\theta'$. Este supuesto falla en tu ejemplo, porque incluso un cambio infinitesimal en ángulo para que la condición de frontera de los cambios de las configuraciones completamente, debido a que no tienen una amplia entropía, y se encuentran encerrados dentro de un $\delta$, la reducción de tamaño del sistema, de un unphysically limitada de configuración.