Qué $\lim_{n\to\infty}\left|\sin n\right|^\frac1n$ donde $n\in\mathbb Z^+$ existen?

Question

Qué $\lim_{n\to\infty}\left|\sin n\right|^\frac1n$ donde $n\in\mathbb Z^+$ existen?

¿Cómo puedo determinar el uso de este estudiante de primer año de cálculo?

Answer 1

solución: vamos a $m>1$$|n-m\pi|<\dfrac{\pi}{2},m<n$, el uso de este $$|n-m\pi|>\dfrac{1}{m^{41}}$$ entonces $$1>|\sin{n}|=|\sin{(n-m\pi)}|>\dfrac{2}{\pi}|n-m\pi|>\dfrac{2}{\pi n^{41}}$$

donde el uso $$\sin{x}>\dfrac{2}{\pi}x,0<x<\dfrac{\pi}{2}$$

y el uso de $$\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1,\lim_{n\to\infty}a^{\frac{1}{n}}=1(a>0)$$ entonces tenemos $$\lim_{n\to\infty}|\sin{n}|^{\frac{1}{n}}=1$$