¿Son todos los campos finitos isomorfos a $\mathbb{F}_p$ ?

Question

Recientemente he comenzado a tomar algunos cursos de álgebra y me preguntaba si todo campo finito es o no isomorfo a $\mathbb{F}_p$ , donde $p$ es primo.

Answer 1

No. Pero todo campo finito es isomorfo a $$F_{p^n}$$ para un primer $p$ y un número entero positivo $n$ . En particular, el campo finito con $p^n$ elementos es el campo de división del polinomio

$$x^{p^n} - x$$

en $F_p$ . Hay un artículo completo en Wikipedia aquí sobre estos.

Answer 2

Estás cerca, todo campo finito es isomorfo a $\mathbb{F}_{p^n}$ que es un cociente de $\mathbb{F}_p[x]$ por un polinomio irreducible de grado $n$ . A menudo es difícil ver que este tipo de cosas pueden existir sin un ejemplo concreto. El más fácil es $\mathbb{F}_4$ :

$$\begin{array}{c|cccc} + & 0 & 1 & \alpha & 1+\alpha\\ \hline 0 & 0 & 1 & \alpha & 1+\alpha\\ 1 & 1 & 0 & 1+\alpha& \alpha \\ \alpha & \alpha & 1+\alpha& 0 & 1 \\ 1+\alpha& 1+\alpha& \alpha & 1 & 0 \\ \end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccc} \times & \color{grey}{0} & 1 & \alpha & 1+\alpha\\ \hline \color{grey}{0} & \color{grey}{0} & \color{grey}{0} & \color{grey}{0} & \color{grey}{0} \\ 1 & \color{grey}{0} & 1 & \alpha & 1+\alpha\\ \alpha & \color{grey}{0} & \alpha & 1+\alpha& 1 \\ 1+\alpha& \color{grey}{0} & 1+\alpha& 1 & \alpha \\ \end{array}$$

Puede ver que $\mathbb{F}_4$ es un grupo bajo adición y $\mathbb{F}_4^\times=\mathbb{F}_4\setminus \{0\}$ es un grupo bajo multiplicación.

En este caso, hice $\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_{2^2}$ del polinomio $x^2+x+1$ que es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ . Obtengo la tabla de multiplicación tomando todos los polinomios de grado $1$ o menos (es decir, por debajo del grado del polinomio irreducible menos uno), para luego multiplicarlos y reducirlos mod $x^2+x+1$ . (Para el cálculo, no importa si se utiliza $x$ o $\alpha$ .)

Answer 3

No. Como explica la wikipágina enlazada por Jack, existe un campo finito único (hasta el isomorfismo) $\mathbb{F}_q$ con $q$ elementos siempre que $q=p^n$ es una potencia de un primo $p$ ( $n$ un número entero positivo).

El ejemplo más sencillo es $\mathbb{F}_4$ . Tiene elementos $\{0,1,\alpha,1+\alpha\}$ , donde $\alpha$ es una misteriosa constante que satisface la ecuación $$\alpha^2=\alpha+1.\qquad(*)$$ Para todos $x\in\mathbb{F}_4$ tenemos $x+x=0$ . Esto explica todo lo que hay que saber sobre la adición en $\mathbb{F}_4$ Así, por ejemplo $$ \alpha+(1+\alpha)=1+(\alpha+\alpha)=1+0=1. $$ Esa misteriosa ecuación $(*)$ explica todo lo que necesita saber sobre la multiplicación en $\mathbb{F}_4$ (junto con los axiomas del anillo). Así, por ejemplo $$ \alpha(1+\alpha)=\alpha+\alpha^2=\alpha+(1+\alpha)=1. $$ Esto significa que $\alpha$ y $1+\alpha$ son inversos (multiplicativos) entre sí. De ello se deduce fácilmente que $\mathbb{F}_4$ es, efectivamente, un campo.

Un ejercicio para ti: Demuestre que $x^3=1$ para todos los elementos no nulos $x\in\mathbb{F}_4$ .

Answer 4

No del todo.

Existe un campo finito con $q$ elementos, si $q=p^k$ para algún primo $p$ . Este campo es único hasta la isomorfia.

Así que los campos finitos con un número primo de elementos son efectivamente isomorfos a $F_p$ .

Pero también hay campos con un número primo de elementos, normalmente también denotados por $F_q$ donde $q=p^k$ , $k>1$ . Pueden construirse de la siguiente manera: $$F_q\simeq F_p[X]/(f(X))$$ donde $f\in F_p[X]$ es un polinomio irreducible de grado $k$ . Esta construcción no depende de la elección de $f$ ya que polinomios diferentes (del mismo grado) conducen a campos isomorfos.

Answer 5

No, todo campo finito es isomorfo a $\mathbb F_q$ donde $q = p^n$ para algún primo $p$ y un número entero no negativo $n$ .