¿Existe una función, continua en los irracionales, con valores racionales, en ningún lugar localmente constante?

Question

Pregunta. Sea $\mathbb A=\mathbb R\!\smallsetminus\!\mathbb Q$ sean los números irracionales. ¿Existe una función continua $\,f:\mathbb A\to\mathbb Q$ que no es localmente constante en ninguna parte? - es decir, para cada $a<b$ la restricción $f\,\big|_{\,(a,b)\cap\mathbb A}$ no es constante.

Evidentemente, existen muchas funciones de este tipo no constantes, que son continuas, pero falla ser en ningún lugar localmente constante .

Un intento fallido: Deja $\mathbb Q=\{q_n\}_{n\in\mathbb N}$ y fijar $$ f(x)=\sum_{n\in\mathbb N} a_n\mathrm{sgn}(x-q_n),\tag{1} $$
donde $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb Q^+$ con $\sum_{n\in\mathbb N}a_n<\infty$ . Claramente $f$ es continua en $\mathbb A$ y no toma necesariamente sólo valores racionales.

EDITAR. Si existe una secuencia $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb Q^+$ tal que $\sum_{n\in S}a_n\in\mathbb Q$ para cada $S\subset\mathbb N$ entonces la función $f$ definido por $(1)$ posee las propiedades buscadas.

Answer 1

No existe tal función y una forma de demostrarlo hace uso del teorema de la categoría Baire.

Supongamos que $f:{\mathbb A} \rightarrow {\mathbb Q}$ es continua. Para cada $r \in {\mathbb Q},$ deje $E_r = f^{-1}(r)$ sea la imagen inversa del conjunto $\{x\}$ en $f.$ Tenga en cuenta que ${\mathbb A} = \cup \{E_r: r \in {\mathbb Q}\}.$ Porque $\mathbb A$ no puede escribirse como una unión contable de ningún lugar denso en ${\mathbb A}$ conjuntos (por el teorema de la categoría Baire; recuérdese que $\mathbb A$ es completamente metrizable ), al menos uno de los " $E_r$ conjuntos" no es denso-en-ningún-lugar ${\mathbb A},$ lo que significa que al menos uno de los " $E_r$ conjuntos", digamos $E_{r_0},$ está en algún lugar denso de ${\mathbb A}.$ Además, puesto que $f$ es continua, cada $E_r$ es un conjunto cerrado en ${\mathbb A}.$ En particular, $E_{r_0}$ está cerrado en ${\mathbb A}.$ De ello se deduce que $E_{r_0}$ contiene un ${\mathbb A}$ -y porque $f$ sólo toma el valor $r_0$ en este intervalo, se deduce que $f$ es constante en este intervalo.