Ha sido un largo tiempo desde que me hice análisis real. Alguien me preguntó y yo no podía responder. No estoy seguro de si este es el lugar adecuado para preguntar.
Él dijo:
La función de $f: [0, \infty)\mapsto [0, \infty)$ $f(x)=\sqrt{x}$ no es diferenciable en a $0$ porque su derivado $f'(x)=1/(2\sqrt{x})$ no es continua en a $0$.
Me dijo (lo que recuerdo):
No es diferenciable en a $0$ porque $\lim_{x\to 0}(f(x)-f(0))/(x-0)=\infty$.
Él dijo que yo sé pero lo que dijo es cierto?
Estás en lo correcto.
El derivado $f'(x)$ de una función derivable, $f(x)$, no tiene que ser continua en sí. Un ejemplo clásico es el de la función
$$f(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x)&,x\ne0\\\\0&,x=0\end{cases}$$
Entonces, tenemos
$$f'(x)=\begin{cases}2x\sin(1/x)-\cos(1/x)&,x\ne0\\\\0&,x=0\end{cases}$$
Claramente, $\lim_{x\to 0}f'(x)$ no existe, mientras que $f'(0)=0$, como se muestra por
$$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin(1/h)-0}{h}=0$$
Por lo tanto, tenemos un ejemplo de una función que es diferenciable en a $x=0$ aunque derivado es discontinua en a $x=0$.
Otro contraejemplo, que tiene la propiedad adicional $\limsup\limits_{x\to 0^+} f'(x)=\infty$ $\liminf\limits_{x\to 0^+} f'(x)=-\infty$ $$f(x):=x^2\left( \sin\frac1x\right)\ln\lvert x\rvert$$ cuya derivada (básicamente la misma razón que el DR. MV de la respuesta) es $$f'(x)=\begin{cases}2x\left( \sin\frac1x\right)\ln\lvert x\rvert-\color{blue}{\left(\cos\frac1x\right)\ln\lvert x\rvert}+x\sin\frac1x&\text{if }x\ne0\\ 0&\text{if }x=0\end{cases}$$
Sin embargo, hay restricciones sobre cómo un derivado puede ser discontinua en un punto dado. Por ejemplo, una interesante pregunta por la causa de su problema es:
Deje $f$ ser una función derivable $[0,\varepsilon)\to \Bbb R$. Puede $\lim\limits_{x\to0^+} f'(x)=\infty$?
La respuesta es no: de hecho, se asume como una contradicción que este fuera el caso. Luego, mediante la ampliación de $f$ $$\overline f(x):=\begin{cases} f(x)&\text{if }x\in[0,\varepsilon)\\ f'(0)x+f(0)&\text{if }x<0\end{cases}$$
podemos suponer que $f$ es una función derivable en a $(-\infty,\varepsilon)\ni 0$ con constante derivado de $x\le0$.
Ahora, debido a que el teorema de Darboux, la imagen en $f'$ de cualquier intervalo de $(-\delta,\delta)$ debe ser un intervalo de $I$ contiene $f'(0)$. Pero este no es el caso, ya que, desde $\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\infty$, $\{f'(0)\}\subsetneqq f'(-\delta,\delta)\subseteqq \{f'(0)\}\cup [f'(0)+1,\infty)$ para $\delta$ suficientemente pequeño. Absurdo.
Con la misma idea, también se puede demostrar que la derivada de una función, aunque puede ser discontinua, no puede tener discontinuidades de salto.
Añadido: derramar los frijoles, en cada punto de $x$ debe aguantar $$\liminf_{t\to x^+} f'(t)\le f'(x) \le \limsup_{t\to x^+}f'(t)\\ \liminf_{t\to x^-} f'(t)\le f'(x) \le \limsup_{t\to x^-}f'(t)$$
Sólo para agregar un pensamiento a lo que otros ya dijeron.
Como el Dr. MV señalado, una función es diferenciable en un punto si el límite del cociente de la diferencia existe y es finito. Eso es todo. La continuidad de la derivada es algo más. Por lo tanto, su respuesta era correcta.
Sin embargo, la continuidad es necesaria cuando decimos que una función $f$ $\mathcal{C}^1(I)$ (aquí se $I$ es un intervalo): $f$ $\mathcal{C}^1(I)$ si es diferenciable en a $I$, y la derivada es también continua en $I$.
En este contexto, el ejemplo dado por el Dr. MV es un ejemplo de una función que es diferenciable en todas partes, pero no pertenecen a $\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$.
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