las relaciones entre la distancia-la conservación, la norma-la conservación, y el interior del producto-la preservación de los mapas

Question

Un producto interior puede inducir a una norma mediante la definición de $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$, la norma puede inducir una métrica mediante el establecimiento $d(x,y) = \|x - y\|$. Pero no toda norma (métrica) es inducida desde el interior del producto (norma), a menos que el paralelogramo de la ley (la homogeneidad y la traducción de la invariancia de las condiciones) es (son) satisfechos.

Supongamos que un producto interior induce una norma, que a su vez induce una métrica, el uso de estos definido interior del producto, la norma y la métrica, podemos saber cuáles son las relaciones entre la distancia-la conservación, la norma-la conservación, y el interior del producto-la preservación de los mapas? Yo sólo sé de uno: si una isometría (distancia-conservación), que es inyectiva, es también surjective, entonces es unitaria (bijective), lo que significa que la isometría es también producto interior-preservación. Por ejemplo, la distancia de la preservación de los mapas en un espacio métrico compacto son también producto interior-preservación. Hay otras relaciones?

Answer 1

No estoy completamente seguro de cuál es su pregunta. Aquí están algunas ideas que parecen más relevantes:

Sea E una normativa espacio con la inducida por la métrica, y $f:E\to E$ un mapa.

• Si f preserva la distancia y f(0)=0, entonces se conserva la norma: $\|fv\|=d(fv,f0)=d(v,0)=\|v\|$.
• Si f preserva la norma y, además, entonces se conserva la distancia: $d(fv,fw)=\|f(v-w)\|=\|v-w\|=d(v,w)$.
• Si f preserva la distancia y es surjective, entonces es afín, por Mazur–Ulam (así lineal si además f(0)=0).

Sea F una interior-espacio del producto, con la inducida por la norma y la métrica, y $f:F\to F$ un mapa.

• Si f es lineal, entonces para conservar la distancia, de la norma, o del interior, producto de tres condiciones equivalentes: para la distancia y la norma de esto se deduce de la anterior, y por norma interior y producto de esto se deduce por la polarización.