Límite termodinámico "vs" el método de steepest descent

Question

Permítanme usar en esta conferencia se nota como el de referencia.

• Me gustaría saber cómo en el por encima de la expresión (14) se obtuvo a partir de la expresión (12).

En cierto sentido se hace sentido intuitivo, pero me gustaría saber de los detalles de lo que pasó entre los dos ecuaciones. El punto es que si no hubo en general el factor de "$\sqrt{N}$" en la ecuación (12), entonces sería un "libro de texto" caso de hacer el "método de steepest descent" en el límite asintótico de "N".

• Me pregunto si en el medio hay una ley argumento de que en la "gran N" límite de uno es la absorción de la $\sqrt{N}$ a un re(onu?)define medida y, a continuación, haciendo la mayor descenso de sólo el exponencial parte de el integrando.

  No sé cómo es el "método de steepest descent" debe ser realizado en toda integrando si la medida no fuera a ser redefinido.

• Pero de nuevo, si algo como lo que se está haciendo, entonces ¿por qué hay una aproximación símbolo en la ecuación (14)?

Después de tomar el límite termodinámico y haciendo la mayor descenso no debería la ecuación (14) se convierten en una igualdad con una suma sobre todos los $\mu_s$ que resolver la ecuación (15)?

A pesar de que, ingenuamente, para mí la expresión (12) es el más susceptible a una delta de Dirac de la función de interpretación, ya que en la "gran N" límite parece estar observando como el estándar de representación de la función delta de Dirac, $\frac{n}{\sqrt{\pi}} e^{-n^2x}$

• Me gustaría saber de algunos comentarios/explicación acerca de esta filosofía general y la prueba por lo que uno quiere decir que el "método de steepest descent" es exacto en el "límite termodinámico".

Answer 1

Esta es una aplicación directa de la mayor descenso método. Así, tenemos que la integral (tomado de las conferencias que cite)

$$Q_N=\sqrt{\frac{N\beta J}{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty d\mu e^{[Nq(\beta J,\beta b,\mu)]}$$

siendo

$$q(\beta J,\beta b,\mu)=\ln\{2\cosh[\beta(J\mu+b)]\}-\frac{\beta J\mu^2}{2}.$$

Ahora vas a tener, mediante la aplicación de steepest descent método de la integral,

$$\frac{\partial q}{\partial\mu}=\beta J\tanh[\beta(J\mu+b)]-\beta J\mu=0.$$

Que nos llame a $\mu_s$ la solución de esta ecuación y ampliar el argumento de la exponencial en torno a este valor. Usted recibirá

$$q(\beta J,\beta b,\mu)=q(\beta J,\beta b,\mu_s)-\frac{J\beta}{2}[1-J\beta(1-\mu_s^2)](\mu-\mu_s)^2.$$

Esto demuestra que

$$Q_N\approx e^{Nq(\beta J,\beta b,\mu_s)}\sqrt{\frac{N\beta J}{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty d\mu e^{-\frac{NJ\beta}{2}[1-J\beta(1-\mu_s^2)](\mu-\mu_s)^2}$$

es decir,

$$Q_N\approx e^{Nq(\beta J,\beta b,\mu_s)}\sqrt{\frac{1}{1-J\beta(1-\mu_s^2)}}$$

Tenga en cuenta que el $N$ factor es completamente eliminado después de la integración y se queda sólo en el argumento de la exponencial. Eq. (16-18) seguir de principio a fin.