$f:\Bbb Z\to\Bbb Z$ tal que $f(f(n)-2n)=2f(n)+n$ todos los $n\in\Bbb Z$

Question

No existe una función de $f:\Bbb Z\to\Bbb Z$ tal que $$f(f(n)-2n)=2f(n)+n$$ for all $n\in\Bbb Z$

Answer 1

Cualquier $n\in{\mathbb Z}$ puede ser el único escrito

$$ n=x2^y, \ x\in{\mathbb Z},y\in{\mathbb Z}^{+} x \ \rm{impar}. $$

(esto se deduce de la única descomposición en factores primos). El exponente $y$ anterior se denota por $\nu_2(n)$. Si usted pone

$$ g(n)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2n & \rm if & \nu_2(n) \ \text{is even} \\ \frac{5n}{2} & \rm if & \nu_2(n) \ \text{is odd} \end{array}\right. $$

a continuación,$g(g(n))=5n$, y, por tanto, $f(n)=g(n)+2n$ es una solución, como dhrab señaló.

Hay muchas variaciones de esta construcción, por supuesto.

Answer 2

Sugerencia:

Deje $f$ ser una función de este tipo y echar un vistazo a $g\left(n\right):=f\left(n\right)-2n$. A continuación,$g\left(g\left(n\right)\right)=5n$.

La cuestión es que ahora se reduce a: ¿existe una función de $g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tal que $g\left(g\left(n\right)\right)=5n$ por cada $n\in\mathbb{Z}$?

Si es así, a continuación, $f$ definido por $f\left(n\right)=g\left(n\right)+2n$ cumple las condiciones.

Answer 3

Gracias a drhab, sabemos que la ecuación es equivalente a $g(g(n))=5n$ donde $g(n)=f(n)-2n$. Ahora, podemos clasificar a todos $g$.

Obviamente, $g(0)=0$, mientras que no hay ningún otro punto fijo $n$ $g(n)=n$ desde que harían $g(g(n))=n$ en lugar de $5n$. También, $g$ debe ser inyectiva ya que $$ g(n)=g(m)\implica que g(g(n)=g(g(m))\implica 5n=5m\implica que n=m. $$

Deje $A_0=\mathbb{Z}\setminus\text{Im}(g)$, es decir, el conjunto de valores no en la imagen de $g$, e $A_k=g(A_{k-1})$$k=1,2,\ldots$. Como $g(g(n))=5n$, $A_{k+2}=g(g(A_k))=5A_k$. La imagen de la composición de la $g\circ g$$5\mathbb{Z}$, y por lo $A_0\cup A_1=\mathbb{Z}\setminus 5\mathbb{Z}$: es decir, $A_0$ $A_1$ contienen exactamente los números enteros que no son divisibles por 5.

Si $A_0=\{u_1,u_2,\ldots\}$, $A_1=\{v_1,v_2,\ldots\}$ donde $v_i=g(u_i)$. Además, esto hace que $g(v_i)=5u_i$. Ampliado a$A_{2k}=5^kA_0$$A_{2k+1}=5^kA_1$, esto hace que $$ g(5^ku_i)=5^kv_i \quad\text{y}\quad g(5^kv_i)=5^{k+1}u_i. $$

Por el contrario, cualquier división de $\mathbb{Z}\setminus 5\mathbb{Z}$ a a distintos conjuntos de $A_0$ $A_1$ y un uno-a-uno el mapa de $g:A_0\rightarrow A_1$ (definición de la $v_i=g(u_i))$ anterior) se extenderá únicamente a un mapa de $g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$$g(g(n))=5n$.

En resumen, cualquier función de $g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ $g(g(n))=5n$ puede ser definido mediante la selección de dos series de $u_1,u_2,\ldots$$v_1,v_2,\ldots$, de modo que cada número entero no divisible por 5 aparece exactamente una vez en una de las dos series, y luego definir $$ g(5^ku_i)=5^kv_i \quad\text{y}\quad g(5^kv_i)=5^{k+1}u_i \quad\text{para}\quad k=0,1,\ldots. $$

Answer 4

Si $n\in \Bbb N$ tal que $5^k\le n \le 3(5^k)$ algunos $k\in \{0,1,2,\dots\}$, luego definimos $$g(n)=n+2(5^k)$$

y si $n\in \Bbb N$ tal que $3(5^k)\le n\le 5^{k+1}$ algunos $k\in \{0,1,2,\dots\}$, luego definimos $$g(n)=5n-2(5^{k+1})$$
y si $n$ es un número entero negativo, luego la dejamos $g(n)=-g(-n)$$g(0)=0$.