Qué sabemos de este espacio homogéneo, por otro nombre?

Question

Considerar el espacio homogéneo $GL(3)/GL(2) = GL(3,\mathbb{R})/GL(2,\mathbb{R})$ donde $GL(2)$ fija el primer eje de coordenadas (por lo que puede ser identificado con el subgrupo de $2\times 2$ bloques sentado en la 'parte inferior derecha de la esquina de las matrices $GL(3)$).

Es allí cualquier 'explícitamente conocido" otro espacio homogéneo, que es isomorfo a éste? Decir mediante ortogonal grupos? Es una especie de Grasmannian/Stiefel colector?

Estoy en lo cierto en adivinar que $GL(3)/GL(2)$ tiene dimensión 5?

Answer 1

Como un paquete de fibras de más de $\mathbb RP^2$ con fibra de $\mathbb R^3 \setminus \mathbb R^2$.

Creo que la forma más natural para describir este espacio sería considerar la posibilidad de dos paquetes de más de $\mathbb RP^2$: (1) $\mathbb RP^2 \times \mathbb R^3$ y (2) $\{(L,v) : L \in \mathbb RP^2, v \in \mathbb R^3, v \perp L \}$ para este propósito $\mathbb RP^2$ es considerado como el espacio de líneas en $\mathbb R^3$.

Por lo que el espacio total del paquete (2) es un subespacio del espacio total del paquete (1). El paquete que usted está interesado en, es el complemento de (2) en (1).

Así que otra manera de decir lo que este espacio es, es que todos los pares de $(L, v)$ tal que $L$ $\mathbb RP^2$ $v$ proyectos a un no-vector cero en $L$ (con proyección ortogonal).

Así que otra manera de describirlo sería la tangente paquete de $\mathbb RP^2$ fibra de producto con un cierto paquete de más de $\mathbb RP^2$ -- como un paquete de más de $\mathbb RP^2$ este "cierto paquete" es el mapa de $\mathbb R \times S^2 \to \mathbb RP^2$ donde $(p,q) \longmapsto \pi(q)$ donde $\pi : S^2 \to \mathbb RP^2$ es el 2:1 que cubre el mapa.

Aún más simple, como un espacio donde se diffeomorphic a $S^2 \times \mathbb R^3$. Usted puede hacer esto equivarient con respecto a la izquierda $GL(3)$ acción: $GL(3)$ tiene su estándar (projectivized) acción en $S^2$, del mismo modo en que actúa en $\mathbb R^3$.

Answer 2

Más de un comentario de una respuesta (sé que has etiquetado como "diferencial de la geometría" y no "homotopy-teoría"):

Mediante el uso simultáneo continua de Gram-Schmidt orthonormalization, esta deformación se retrae en $O(3)/(GL(2)\cap O(3))=O(3)/O(2)$. Tenga en cuenta que $O(3)/(O(2)\times O(1))=:Gr_2(\mathbb{R}^3)\cong Gr_1(\mathbb{R}^3)=\mathbb{RP}^2$, por lo que tomar un $O(1)$-coeficiente de rendimientos $\mathbb{RP}^2$. Como $O(3)/O(2)$ está conectado (el coset de cualquier $A\in O(3)$ contiene un elemento de $SO(3)$), debe ser que $O(3)/O(2)\cong S^2$. (De hecho, el haz de fibras se $O(2)\rightarrow O(3)\rightarrow S^2$ es sólo el círculo bundle $S(TS^2)$, es decir, la esfera paquete de $TS^2$.) Así, su espacio es homotopy equivalente a $S^2$.

El hecho de que usted está quotienting por incrustado Mentira subgrupo significa que las dimensiones de hecho restar: $\dim(GL(3)/GL(2))=3^2-2^2=5$. Así que esto no es sólo $TS^2$ ni nada de eso. Me gustaría, sin embargo, estar dispuesto a apostar que se trata de algún tipo de haz de fibras de más de $S^2$, pero no podía demostrarlo...