Si $f\colon G\to H$ es un surjective homomorphism, a continuación, $|C_G(g)| \geq |C_H(f(g))|$

Question

Deje $G$ ser finito, $f\colon G\to H$ ser un surjective homomorphism (por lo tanto, $H$ es finito) y $g \in G$. Demostrar la orden del centro de $g$ $G$ es mayor que o igual a la orden del centro de $f(g)$$H$, es decir, $$|C_G(g)| \ge |C_H(f(g))|.$$

Intentos de solución.

Si $f$ es un isomorfismo de esto es clara. Así que si $\ker f=K$ podemos considerar $G \to G/K \xrightarrow{f'} H$ donde $f'$ es la inducida por el mapa. Con el fin de reducir este problema para el caso en que $f$ es un mapa de proyección.

También si $f(x)f(g) = f(g)f(x)$$f(x^{-1}g^{-1}xg) = e$.

Así que si $h = f(y)$, $h \in C_H(f(g))$ iff $[h,g] \in K$.

El centro de $g$ es el conjunto de puntos fijos de la conjugación de mapa (por $g$). Y el centro de $h$ es el conjunto de puntos fijos en virtud de la conjugación por $h$. Así que tal vez esto se puede hacer teniendo en cuenta cómo las órbitas colapso mod un subgrupo normal?

Answer 1

Nos deja denotar por $[g]$ la clase conjugacy de $g$$G$. El conjunto $$ [g]\cap Kg=\{g=g_1,g_2,\ldots,g_m\} $$ es, obviamente, finito, y $m\le |K|$.

Por otro lado $f(x)$ viajes $f(g)$$H$, iff $xgx^{-1}g^{-1}\in K$, o el fib $$ xgx^{-1}\en Kg. $$ Todos los elementos $g_i,i=1,2,\ldots,m,$ son conjugados en $G$, por lo que la ecuación $$xgx^{-1}=g_i$$ holds for exactly $|C_G(g)|$ different elements $x\in G$. Irrespective of the choice of the index $i$.

Indicar el subgrupo $f^{-1}(C_H(f(g)))$$M$. Poniendo todo esto junto, hemos calculado que $$ |M|=m\cdot |C_G(g)|. $$ Por otro lado $C_H(f(g))=f(M)\cong M/K$, por lo que $$ |C_H(f(g))|=\frac{|M|}{|K|}=\frac{m\cdot |C_G(g)|}{|C|}\le |C_G(g)|, $$ como $m\le |K|$.