Esta pregunta no pertenece a la teoría de categorías; sin embargo, los teóricos de categorías tienden a estar interesados en estructuras matemáticas, así que pensé que la respuesta podría existir dentro de esa base de conocimientos.
Dadas dos estructuras matemáticas $X$ e $Y$ con el mismo patrón de aridades, hay una noción natural de homomorfismo $X \rightarrow Y$, descrita aquí, llamada homomorfismo estructural. Sin embargo, esta noción carece de "robustez".
Por ejemplo, supongamos que $X$ e $Y$ son conjuntos parcialmente ordenados y que $f$ es un homomorfismo estructural $f : X \rightarrow Y$. Entonces $f$ es un homomorfismo de orden. Supongamos también que $X$ e $Y$ resultan ser retículos. Entonces podemos añadir encuentros y uniones a los datos de $X$ e $Y, obteniendo así nuevas estructuras $X'$ e $Y'$. Sin embargo, es posible que $f$ falle en ser un homomorfismo $X' \rightarrow Y'$, ya que no todo homomorfismo de orden es un homomorfismo de retículo.
Por lo tanto, en general, si $f$ es un homomorfismo estructural $X \rightarrow Y$ y extendemos $X$ e $Y$ definiendo nuevas relaciones/operaciones en términos de las antiguas, obteniendo así nuevas estructuras $X'$ e $Y'$, incluso si las nuevas relaciones/operaciones se definen en términos de las antiguas, usando exactamente las mismas definiciones, sin embargo, $f$ puede fallar en ser un homomorfismo $X' \rightarrow Y'$.
Originalmente pensé que la noción de "incrustación estructural" descrita aquí en ese mismo artículo, podría ser robusta con respecto a la definición de nuevas relaciones/operaciones. Pero estaba completamente equivocado.
Entonces mi pregunta es, ¿qué es más robusto que un homomorfismo estructural?
