Hacer finito de lugares de un campo de número también se corresponden con incrustaciones?

Question

Algo que parece ser bastante estándar en cada uno de introducción del tratamiento es que el infinito lugares corresponden a incrustaciones en $\mathbb{C}$. Hacer lo finito lugares corresponden a incrustaciones así? Puedo imaginar dos posibilidades. Mi primera conjetura es que los números primos sentado encima de $p \in \mathbb{Q}$ corresponden a incrustaciones en $\overline{\mathbb{Q}_p}$, y por lo tanto también a incrustaciones en $\mathbb{C}$ por parte de algunos desordenado, no canónica campo de isomorfismo. Mi segundo intento, que creo que implicaría la primera, es que los lugares de $\mathbb{Q}[\alpha]$ sobre $p \in \mathbb{Q}$ corresponden a incrustaciones en $\mathbb{Q}_p[\alpha]$. Nunca he sido capaz de encontrar una declaración precisa acerca de esto en cualquiera de los textos que he estado estudiando (en su mayoría Milne notas y Frohlich & Taylor) y agradecería si alguien pudiera dejarme saber dónde aprender más acerca de esto ... o si simplemente estoy mal del llano.

Otra cosa es que las incrustaciones en $\mathbb{C}$ juegan un papel central en el análisis de la estructura básica de un campo de número por modo de Minkowski de la teoría. Hay algunos analógica para el finito de lugares, o que incluso algún sentido?

Answer 1

No estoy seguro de por qué Pete detuvo volviendo al cartel original de la descripción en términos de incrustaciones. El punto es que el infinito lugares de un campo de número de $K$ corresponden a incrustaciones de $K$ a $\mathbb{C}$ hasta equivalencia, donde dos incrustaciones se consideran equivalentes si uno puede ser obtenida de la otra por el post-redactar con un elemento de $\textrm{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$. Exactamente de la misma manera que los lugares de $K$ se encuentra por encima del $p$ corresponden a incrustaciones de $K$ a $\overline{\mathbb{Q}}_p$ contado de equivalencia, donde dos incrustaciones se consideran equivalentes si uno puede ser obtenida de la otra por el post-redactar con un elemento de $\textrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$.

Esto no es difícil derivar de esto de lo Pete escribió. (Considere el $K = \mathbb{Q}[t]/P(t)$ y la descripción de los lugares por encima de $p$ como irreductible factores de $P(t)$$\mathbb{Q}_p$. Una incrustación de $K$ a $\overline{\mathbb{Q}}_p$ equivale a elegir una raíz de $P(t)$$\overline{\mathbb{Q}}_p$, y dos incrustaciones serán equivalentes si y sólo si el correspondiente raíces son las raíces de la misma irreductible factor de $P(t)$.)

Y, por supuesto, por el mismo argumento hay una descripción similar de los lugares de L acostado sobre un lugar de K.

Answer 2

Una manera más precisa de expresar su segunda conjetura es como sigue.

Dado un campo de número de $K$ (de un número finito de extensión de $\mathbb{Q}$), y un lugar $v$ $\mathbb{Q}$ (de modo que $v$ es un número primo de la sybol $\infty$, que corresponde a la finalización de la $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$), se puede pedir lo $K\otimes\mathbb{Q}_v$ es, donde $\mathbb{Q}_v$ es la culminación de $\mathbb{Q}$ en $v$.

Pete me pegaba a el resto.

Answer 3

La Arquímedes lugares de un campo de número K no se corresponden exactamente con las incrustaciones de K en $\mathbb{C}$: hay exactamente $d = [K:\mathbb{Q}]$ de éstas, mientras que hay $r_1 + r_2$ Arquimedianos lugares, donde:

si $K = \mathbb{Q}[t]/(P(t))$, $r_1$ es el número de raíces reales de $P$ $r_2$ es el número de complejo conjugado de pares de raíces complejas de $P$. En otras palabras, $r_1$ es el número de grados $1$ irreductible factores y $r_2$ es el número de grados $2$ irreductible factores de $P(t) \in \mathbb{R}[t]$.

Hay una perfecta analogía de esta descripción de los no-lugares de Arquímedes. Es decir, los lugares de $K$ se encuentra por encima de la $p$-ádico lugar en $\mathbb{Q}$ corresponden a la irreductible factores de $\mathbb{Q}_p[t]/(P(t))$; o lo que es equivalente, para el primer ideales en lo finito-dimensional $\mathbb{Q}_p$-álgebra $K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_p$.

De manera más general: si $L = K[t]/P(t)/K$ es de un número finito de grados de extensión de campo y $v$ es un lugar de $K$ (posiblemente de Arquímedes), entonces los lugares de $L$ extender $v$ corresponden al primer ideales en $L \otimes_K K_v$ o, si se quiere, a los distintos factores irreducibles de $P(t)$ $K_v$ donde $K_v$ es la culminación de $K$ con respecto a $v$.

Ver, por ejemplo, la Sección 9.9 de Jacobson Básicos de Álgebra II.

Por coincidencia, este es exactamente el resultado que estoy actualmente trabajando para en un curso que estoy enseñando en la UGA. Voy a publicar mis notas de la conferencia, cuando hayan terminado. (Pero predigo que van a soportar una fuerte semejanza con el tratamiento en Jacobson del libro).

Answer 4

Otra forma de pensar en un lugar de un campo de número es en términos de clases de equivalencia de los valores absolutos. Usted debe averiguar cómo esta definición es la misma que la dada por David Savitt.

Deje $k$ ser cualquier campo. Un valor absoluto en $k$ es un homomorphism $|\ |:k^\times\to\mathbb{R}^{\times\circ}$ desde el grupo multiplicativo de a $k$ en los pedidos grupo de stritctly positivos reales lo cual no es trivial y de tal manera que la desigualdad triangular $$ |x+y|\le |x|+|y| $$ se satisface para todos los $x,y\in k$, con la convención que $|0|=0$.

Un valor absoluto $|\ |$ da lugar a una distancia $d(x,y)=|x-y|$$k$, lo que lo convierte en un espacio métrico. Por lo tanto, puede ser completado a un campo de $k_{|\ |}$ que $k$ es un denso subcampo. Dos valores absolutos en $k$ son equivalentes si producen el mismo topología en $k$, y por lo tanto dar lugar a la misma conclusión.

Ostrowski (1918) determine todos los valores absolutos en un campo de número, y Artin (1932) dio un maravillosamente simple prueba de su teorema. Usted puede leer acerca de esto en muchos lugares, incluyendo a mi online notas arXiv:0903.2615

Answer 5

Sólo a añadir algo acerca de tu pregunta final: No existe un lugar concreto "sí" en respuesta a su última pregunta en el formulario de Arakelov teoría. Uno define un Arakelov divisor de un número finito de formal combinación lineal de los lugares, con coeficientes enteros en el finito de lugares y de los coeficientes reales sobre los infinitos lugares. Mapa de $K^\times$ en el divisor grupo a través de la definición natural de director de Arakelov divisores, y si usted componen este mapa con la proyección al infinito de los componentes del divisor de grupo, de recuperar el logaritmo mapa de Minkowski de la teoría. Así, al menos, ignorando el material adicional que apenas tiraron a no evitar la recuperación de Minkoswki teoría. Pero hay mucho más que ganar, es decir, considerando el cociente de la Arakelov divors por los principal y el doblaje esta la Arakelov grupo de clase.

El poder de esta construcción, al menos como yo lo veo, es simultáneamente lidiar con dos de los más poderosos ideas básicas de la teoría algebraica de números -- el grupo de clase y la de Minkowski de la incrustación -- en el contexto de un único objeto, el Arakelov grupo de clase. Esta línea de pensamiento se lleva a cabo en profundidad bellamente en el Capítulo 3 de Neukirch de la Teoría Algebraica de números. Aproximadamente, el Arakelov grupo de clase se ve mucho más como el divisor grupos de clases derivadas en función de los campos, y motivados por esta analogía, se puede definir la línea de paquetes, Euler características, género, canónica de paquetes, clases de Chern, etc., para los campos de número, que culminó con una muy convincente analógica de Riemann-Roch para el número de campos. (De nuevo, ver Neukirch).