A partir de la discusión en los comentarios de los dos posibles soluciones se hicieron esperar, aquí está la primera:
Dado que el grupo es nilpotent, la parte superior central de la serie termina. Luego de algunos $n$, $Z_n(G) = G$ y debe haber un menor $i$ tal que $N \cap Z_i(G) = \langle e \rangle$ pero $N \cap Z_{i+1}(G) \neq \langle e \rangle$. El objetivo es mostrar que la $N \cap Z_{i+1}(G) \subseteq Z_1(G) = Z(G)$.
Voy a denotar $Z_i(G),Z_{i+1}(G)$$Z_i, Z_{i+1}$.
Nos damos cuenta de que el subgrupo $[G,N]$ generado por los elementos de a $\{ gng^{-1}n^{-1}\mid g \in G, n \in N\}$ está contenida en el subgrupo normal $N$. Esto es debido a que para cada generador de $gng^{-1}n^{-1}$ de $[G,N]$, $gng^{-1}n^{-1} = (gng^{-1})n^{-1} \in N$. Así que, en conclusión $[G,N] \subseteq N$.
Además, podemos notar que desde $Z(G/Z_i) = Z_{i+1}/Z_i$, entonces para cualquier $c \in Z_{i+1}, g \in G$ tenemos que $Z_igc = Z_icg$, lo que implica $Z_igcg^{-1}c^{-1} = Z_i$ $gcg^{-1}c^{-1} \in Z_i$ todos los $g \in G, c \in Z_{i+1}$. Estos son exactamente los generadores del grupo de $[G, Z_{i+1}]$, por lo $[G, Z_{i+1}] \subseteq Z_i$
Ahora nos fijamos de nuevo en el grupo no trivial $N \cap Z_{i+1}$. Hemos establecido anteriormente que el$[G,N] \subseteq N$$[G, Z_{i+1}] \subseteq Z_i$. Esto le da a $[G, N \cap Z_{i+1}] \subseteq [G,N] \cap [G,Z_{i+1}] \subseteq N \cap Z_i = \langle e\rangle$. Así que en realidad el subgrupo $[G, N \cap Z_{i+1}]$ es trivial, lo que ocurre cuando $N \cap Z_{i+1} \subseteq Z_1 = Z(G)$. Esto le da a ese $N \cap Z(G) \neq \langle e \rangle$.
Y tal vez un poco más simple, basándose en una alternativa caracterización de nilpotent grupos:
Por un ejercicio en mi libro (Hungerford del Álgebra, en el capítulo 2, sección 7, ejercicio 4), un grupo es nilpotent si y sólo si el $\gamma_m(G) = \langle e \rangle$ algunos $m$ donde$\gamma_1(G)=G,\gamma_2(G)=[G,G]$$\gamma_i(G)=[\gamma_{i−1}(G),G]$.
Teniendo en cuenta esto, podemos definir una secuencia $N_1(G) = N, N_2(G) = [N,G]$ $N_i(G) = [N_{i-1}(G),G]$ donde $N$ es adecuada subgrupo normal de $G$.
Obviamente, para cualquier $i$, $N_i(G) \subset N$ por la normalidad de $N$.
También es claro que la $N_1(G) = N \subset G = \gamma_1(G)$. Asumir de forma inductiva que $N_i(G) \subset \gamma_i(G)$. Por definición, $N_{i+1}(G) = [N_{i}(G),G]$$\gamma_{i+1}(G)=[\gamma_{i}(G),G]$. Es claro, entonces, que el $N_{i+1}(G) \subset \gamma_{i+1}(G)$.
Pero desde $G$ es nilpotent, para algunos $m$, $N_m(G) \subset \gamma_m(G) = \langle e \rangle$ Así, en particular, tenemos que $[N_{m-1}(G), G] = \langle e \rangle$. Esto sólo puede ser si $N_{m-1}(G) \subset Z(G)$, y desde $N_{m-1}(G) \subset N$,$N \cap Z(G) \neq \langle e \rangle$.
