Trato de entender la prueba de Cap. VI, n° 3.1, Prop. 10 en Serre "Un curso en la aritmética" (página 70). El objetivo es demostrar que zeta-función puede ser escrito como \begin{align*} \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\phi(s) \end{align*} con un holomorphic $\phi$ cualquier $s\in\mathbb{C}$$\mathfrak{Re}(s)>0$.
Entiendo que la prueba salvo por un detalle: $\phi$ está dada explícitamente por $\phi=\sum_{n=1}^\infty \phi_n$ con \begin{align*} \phi_n(s)=\int_n^{n+1} \left(n^{-s}-t^{-s}\right) dt. \end{align*} Para probar la convergencia de $\phi$, queremos mostrar que \begin{align*} \left|\phi_n(s)\right|\leq\frac{|s|}{n^{x+1}} \quad \text{with}\quad x=\mathfrak{Re}(s)\quad(*) \end{align*} Para este Serre primeras notas que \begin{align*} \left|\phi_n(s)\right| \leq \sup_{n\leq t\leq n+1}\left| n^{-s}-t^{-s}\right| \end{align*} Lo que está claro ya que el intervalo de integración es $(n+1)-n=1$. Entonces él sais que la derivada de $n^{-s}-t^{-s}$ es igual a $\frac{s}{t^{s+1}}$. Y a partir de esto de alguna manera siguiente (*). Mi pregunta es: ¿Cómo se hace exactamente esto siga?
He tomado nota de las siguientes declaraciones para $s=x+iy$ donde $x=\mathfrak{Re}(s)$ $y=\mathfrak{Im}(s)$ $f(t)=n^{-s}-t^{-s}$
- Debido a $|t^{iy}|=|e^{iy\ln(t)}|=1$ (desde que está en el círculo unitario) y $|t^{x+1}|=t^{x+1}$ (desde $t$ $x$ real) vemos que \begin{align*} \left|f'(t)\right|=\left|\frac{s}{t^{x+1+iy}}\right|=\frac{|s|}{|t^{x+1}| |t^{iy}|}=\frac{|s|}{t^{x+1}} \end{align*}
- Debido a $f(n)=0$ podemos calcular \begin{align*} |f(n+1)|=|f(n+1)-f(n)|=\left|\int_n^{n+1}f'(t)dt\right|\leq\sup_{n\leq t\leq n+1}\left|f'(t)\right|=\sup_{n\leq t\leq n+1}\frac{|s|}{t^{x+1}}=\frac{|s|}{n^{x+1}} \end{align*}
Estoy cerca? :-)
