Contraejemplo: Continua, pero no uniforme de funciones continuas no preservar las Secuencias de Cauchy

Question

Quiero probar esto:

Existe una función continua $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$, pero no uniformemente continua, y una secuencia de Cauchy $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ de los números racionales tales que $\{f(x_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ no es una secuencia de Cauchy.

Más en particular: ¿Existe una secuencia de Cauchy $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ de los números racionales tales que $\{x_n^2\}$ no es de Cauchy?

Creo que sería raro, y el contraejemplo debe ser con alguna función que es continua en a$\mathbb{Q}$, pero no en $\mathbb{R}$. Estoy en lo cierto? Lo que sería un ejemplo de que?

Answer 1

Tengamos en cuenta $$A = \{x \in \mathbb{Q} : x > \sqrt{2}\}.$$ Then the characteristic function $\chi_A : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ es continua pero no conserva secuencias de Cauchy.

Answer 2

La respuesta de arriba, ya ofrece un buen contraejemplo. Me referiré a sus otras preguntas.

Tienes razón en que el contraejemplo debe ser una función que no es la restricción a $\mathbb{Q}$ de una función continua de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$. En particular, no existe una secuencia de Cauchy de números racionales $(x_n)$ tal que $(x_n^2)$ no es de Cauchy.

Deje $(x_n)$ ser una secuencia de Cauchy de números racionales y deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función continua tal que $f(\mathbb{Q})\subset\mathbb{Q}$. Desde $(x_n)$ es de Cauchy y $\mathbb{R}$ es completa, $(x_n)$ converge (en $\mathbb{R}$, no necesariamente a un número racional). Entonces, por la continuidad de $f$, la secuencia de $(f(x_n))$ converge. Pero convergentes son las secuencias de Cauchy, por lo $(f(x_n))$ es de Cauchy. La restricción de la función de $f$$\mathbb{Q}$, y de su aplicación a $(x_n)$ los rendimientos de una secuencia de Cauchy.

Answer 3

Otro ejemplo sencillo es dado por $f(x)=\frac1{x^2-2}$.