En un (clásica) de lagrange campo de la teoría, el espacio de configuración $\mathcal C$ del sistema es un espacio de configuraciones del campo. Un campo de configuración (o simplemente "campo", para abreviar) es generalmente una función de $\phi:\mathcal M\to T$ donde $M$ es de un colector y $T$ es un conjunto, a menudo un colector o espacio vectorial, o de ambos, llamado el destino del espacio del campo. El espacio de configuración $\mathcal C$ es llevado a algunos suficientemente suave (cuando la noción de uniformidad puede ser definido) subconjunto del conjunto de todos los campos posibles. El lagrangiano es entonces una función de $L:\mathcal C\to\mathcal C$;
\begin{align}
\phi\mapsto L[\phi]
\end{align}
Es decir, el lagrangiano de mapas de una particular configuración del campo, a otro campo de configuración. A menudo, se considera una teoría del campo para que el lagrangiano puede ser escrito como local de la densidad local, pero esto no es estrictamente necesario. La acción de la teoría puede ser definida como la integral de la $L[\phi]$$M$;
\begin{align}
S[\phi] = \int_M \, d^Dx\,L[\phi](x).
\end{align}
Nota. Mi terminología y notación de aquí son un poco no es estándar en algunos contextos. Por ejemplo, en la física relativista (la teoría de campo) el Lagrangiano se suele asignar una configuración del campo de $\phi$ a una función $L[\phi]$ de su tiempo, y, a continuación, esta en función del tiempo será integrado para producir la acción. No es difícil en la práctica para traducir entre convenios.
Uno puede entonces definir lo que significa para la acción de poseer simetría. En particular, dada una asignación $F:\mathcal C\to \mathcal C$ del colector en el campo de las configuraciones se define a sí mismo, se dice que la acción es invariante bajo $F$ siempre
\begin{align}
S[F(\phi)] = S[\phi]
\end{align}
para todos los $\phi\in\mathcal C$. Para el "continuo" de las transformaciones, se pueden también definir las nociones de simetría que no implican completo de la invariancia, pero vamos a mantener la discusión simple en este punto.
Ejemplo. Un común juguete teoría considerado como el primer ejemplo en la mayoría de los relativista, la teoría de campo de los textos es la de una sola, libre, real de Lorentz escalar definido en el espacio de Minkowski (voy a usar métrica de la firma de $+ - - -$). En este caso, tenemos
\begin{align}
M = \mathbb R^{3,1}, \qquad T = \mathbb R
\end{align}
y $\mathcal C$ es un espacio suficientemente suave funciones de $\phi:\mathbb R^{3,1}\to\mathbb R$ que satisfagan ciertas deseado condiciones de contorno. El Lagrangiano de dicha teoría es
\begin{align}
L[\phi](x) = \mathscr L(\phi(x), \partial_0\phi(x), \dots \partial_3\phi(x))
\end{align}
donde $\mathscr L$ es el Lagrangiano de la densidad se define por
\begin{align}
\mathscr L(\phi, \partial_0\phi, \dots, \partial_3\phi)
&= \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2.
\end{align}
Dado cualquier transformación de Lorentz $\Lambda$, se puede definir una transformación de $F_\Lambda:\mathcal C\to\mathcal C$ como sigue:
\begin{align}
F_\Lambda(\phi)(x) = \phi(\Lambda^{-1} x).
\end{align}
Un corto de cálculo, a continuación, muestra que el Lagrangiano es un escalar de Lorentz en virtud de esta transformación, es decir,
\begin{align}
L[F_\Lambda(\phi)](x) = L[\phi](\Lambda^{-1}x).
\end{align}
De hecho, este es esencialmente hecho para usted en la página 36 de Peskin. De esto se desprende que la acción es invariante bajo $F$;
\begin{align}
S[F_\Lambda(\phi)] = \int_{\mathbb R^{3,1}} d^4x\, L[\phi](\Lambda^{-1}x) = \int_{\mathbb R^{3,1}} d^4x\, L[\phi](x) = S[\phi].
\end{align}
dado que la medida $d^4 x$ es de Lorentz-invariante. Observe, en particular, que el hecho de que el Lagrangiano transformado como un escalar de Lorentz (es decir, precisa de la misma manera que el campo escalar $\phi$ se definió para transformar), inmediatamente llevado a la invariancia de la acción.
Además, supongamos que el $\phi$ es un campo de configuración que lleva a la acción estacionaria, entonces también se puede mostrar que una de Lorentz-transformado campo conduce a un estacionario de acción mediante la invariancia de Lorentz de la acción. Para ver esto, recordemos que el variacional derivada en la dirección de un campo de configuración de $\eta$ se define como sigue:
\begin{align}
\delta_\eta S[\phi] = \frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\Big|_{\epsilon=0}
\end{align}
Ahora, supongamos que el $\phi$ es un punto fijo de la acción, es decir, que $\delta_\eta S[\phi] = 0$ para todos los admisible $\eta$, entonces para todo tipo de $\eta$ hemos
\begin{align}
\delta_{F_\Lambda(\eta)} S[F_\Lambda(\phi)]
&= \frac{d}{d\epsilon} S[F_\Lambda(\phi) + \epsilon F_\Lambda(\eta)]\Big|_{\epsilon = 0} \\
&= \frac{d}{d\epsilon} S[F_\Lambda(\phi+\epsilon_\eta)]\Big|_{\epsilon = 0} \\
&= \frac{d}{d\epsilon} S[\phi+\epsilon_\eta]\Big|_{\epsilon = 0} \\
&= 0
\end{align}
Ahora establezca $\eta = F_\Lambda^{-1}(\xi)$, entonces el cálculo nos muestra que acaba de realizar
\begin{align}
\delta_{\xi} S[F_\Lambda(\phi)] =0.
\end{align}
para todos los admisible campo de configuraciones $\xi$. En otras palabras, las transformadas de Lorentz escalar es también un punto fijo de la acción. Aviso de que esta demostración se cumple para cualquier transformación de Lorentz, no solo aumenta.
Adenda.
Como se señaló en los comentarios, el argumento al final de unos variacional derivados depende de la linealidad de la $F_\Lambda$. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:
\begin{align}
F_\Lambda(a\phi+b\psi)(x)
&= (a\phi+b\psi)(\Lambda^{-1}x) \\
&= a\phi(\Lambda^{-1}x) + b\psi(\Lambda^{-1}x) \\
&= aF_\Lambda(\phi)(x) + bF_\Lambda(\psi)(x).
\end{align}
Permítanme hacer algunas observaciones acerca de la asignación de $F:\mathcal C\to \mathcal C$; una simetría de la acción. Si existe una asignación de $f_T:T\to T$ sobre el destino de espacio que induce a esta asignación, es decir,
\begin{align}
F(\phi)(x) = f_T(\phi(x)),
\end{align}
a continuación, $F$ se llama una simetría interna. Por otro lado, si hay una asignación $f_M:M\to M$ sobre la base del colector $M$ que induce a esta asignación, es decir,
\begin{align}
F(\phi)(x) = \phi(f_M(x)),
\end{align}
a continuación, $F$ se llama una base de colector de simetría (o, más comúnmente, un espacio-tiempo de simetría , ya que en el contexto de la teoría de campo relativista, la base manifold es un espacio-tiempo como el espacio de Minkowski.)
Además, la asignación de $F:\mathcal C \to\mathcal C$ sobre la configuración del campo de espacio es a menudo, como en el campo escalar ejemplo, un grupo de acción de algún grupo de $G$$\mathcal C$. Esto significa que para cada una de las $g\in G$, podemos asociar un mapeo $F_g:\mathcal C\to \mathcal C$ de manera tal que la asignación de $g\mapsto F_g$ es un homomorphism del grupo $G$. En la práctica, el grupo de $G$ es a veces un grupo de simetrías, naturalmente, que actúa en la base del colector, y a veces $G$ un grupo de simetrías, naturalmente, que actúa en el espacio de destino (o incluso ambos, cuando el $M=T$). En cualquier caso, este grupo de acción por lo general se obtiene mediante la composición de un espacio de destino del grupo de acción $(f_T)_g:T\to T$ con una base colector de acción del grupo $(f_M)_g:M\to M$. Más explícitamente, para cada una de las $g\in G$, podemos definir asignaciones $(F_T)_g:\mathcal C\to \mathcal C$ $(F_M)_g:\mathcal C\to\mathcal C$ como sigue:
\begin{align}
(F_T)_g(\phi)(x) = (f_T)_g(\phi(x)), \qquad (F_M)_g(\phi)(x) = \phi((f_M)_g(x))
\end{align}
y, a continuación, el pleno del grupo de acción $F_g:\mathcal C\to\mathcal C$ está definido por la composición de estos dos;
\begin{align}
F_g = (F_T)_g\circ (F_M)_g
\end{align}
o más explícitamente
\begin{align}
F_g(\phi)(x) = (f_T)_g(\phi((f_M)_g(x))).
\end{align}
Ahora, todo esto es un poco abstracto, así que vamos a escribir lo que todos estos objetos sería para el campo escalar ejemplo:
\begin{align}
G &= \mathrm{SO}(3,1) \\
g &= \Lambda\\
(f_T)_g(\phi(x)) &= \phi(x) \\
(f_M)_g(x) &= \Lambda^{-1}x \\
(F_T)_g(\phi)(x) &= \phi(x) \\
(F_M)_g(\phi)(x) &= \phi(\Lambda^{-1}x) \\
F_g(\phi)(x) &= \phi(\Lambda^{-1}x)
\end{align}
Observe que $f_T$ es simplemente la asignación de identidades en el espacio de destino. Esto es precisamente lo que queremos decir cuando decimos que el campo escalar es un escalar de Lorentz. Por otro lado, para un vectoriales de Lorentz, el objetivo en el mismo espacio que sería el espacio de Minkowski $\mathbb R^{3,1}$, y el blanco el espacio del grupo de acción sería
\begin{align}
(f_T)_\Lambda(A(x)) = \Lambda A(x),
\end{align}
es decir, hay una simetría interna en la que el vector de índices en el campo de la transformación no-trivial. En componentes, que es cómo se verá esta escrito en Peskin por ejemplo, el lado derecho debería ser escrita como $\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} A^\mu(x)$.
