$$ \left\{ \begin{aligned} c_1 & = a_2b_3-b_2a_3 \\ c_2 & = a_3b_1-b_3a_1 \\ c_3 & = a_1b_2-b_1a_2 \end{aligned} \right. $$ $c_1,c_2,c_3\in \mathbb{Z}$ es dado,demostrar que $\exists a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in\mathbb{Z}$ satisfacer las ecuaciones de conjunto.
Al parecer,la cuestión de la igualdad de cómo descomponer el vector de enteros en la cruz de producto (productos de vectores) de dos enteros vector.Y la verdadera pregunta quiero preguntar, simplemente es.
Esta es sólo una prueba de un caso especial del problema.
El problema es sencillo si tenemos además la suposición de que $(c_{1}, c_{2}) \mid c_{3}.$, teniendo $a_{2} := c_{1},$ $b_{3} := 1,$ $a_{3} := 0,$ $a_{1} := -c_{2}$ cumple con las dos primeras ecuaciones y a partir del tercer tenemos $c_{1}b_{1} + c_{2}b_{2} + c_{3} = 0.$ Desde $(c_{1}, c_{2}) \mid c_{3},$ se sigue que hay infinitamente muchos enteros $b_{1}, b_{2}$ para que la tercera tiene.
En realidad, el resultado se cumple para cualquier dimensión.
Tomar una primitiva de vectores $c$ (coordenadas coprime).
Entonces no es $L\in GL(Z)$ tal que $Lc$ ser la unidad de vectores de la base canónica.
Tomar la cruz de productos de todas las líneas de $L$ que no corresponden a las $0$ del vector y vector inicial $c$.
En la base es de Euclides. Usted puede transformar su vector con entero de sólo transformaciones para llegar a un vector unitario.
En primer lugar vamos a suponer que $c_1, c_2, c_3$ son coprime, que es $(c_1, c_2, c_3) = 1$.
En primer lugar, imaginemos que no existen números enteros $u_1, u_2, u_3$ $v_1, v_2, v_3$ tal que $$ \begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = 1 $$
En ese caso podemos tomar $a = c \times u$$b = c \times v$. A continuación, $a \times b = (c \times u) \times (c \times v) = (c \cdot (u \times v))c$ (este es uno de triple propiedades del producto, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product para más detalles). Ahora $c \cdot (u \times v)$ es igual al determinante de arriba y por lo tanto es igual a uno. Por lo $a \times b = c$.
Ahora vamos a volver y probar la hipótesis. Deje $d = (c_2, c_3)$ y pick $u_2, u_3$ tal que $c_2 u_3 - c_3 u_2 = d$. También recoger $u_1 = 0$. Ahora tenemos
$$ \begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = v_1 d - v_2 (c_1 u_3 - c_3 u_1) + v_3 (c_1 u_2 - c_2 u_1) = v_1 d + c_1(v_3 u_2 - v_2 u_3). $$
Ahora$(c_1, d) = 1$$(u_2, u_3) = 1$. Permítanos pick $v_2$ $v_3$ tal que $v_3 u_2 - v_2 u_3 \equiv c_1^{-1} \pmod d$. En ese caso, el lado derecho es congruente a $1$ modulo $d$. Por fin nos dejaron coger $v_1$ que es igual a $1$.
La integral dada vector v tiene al menos un racional vector w tal que w ,v son perpendiculares. Tomamos el producto cruzado de la u de v y w, y esto es racional. Ahora nos encontramos con un adecuado común múltiplo de u y w para eliminar los denominadores. Así, tenemos nuevos integral de los vectores u',w' perpendicular a v.
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