Son Los Logaritmos De Base Diez Reliquias?

Question

Interesados sólo en sus pensamientos en cuanto a la afirmación de que

la preeminencia de los logaritmos de base diez es una reliquia de la pre-calculadora de días.

En primer lugar entiendo que el descubrimiento de la (de base 10) logaritmo de los números reales positivos sin una calculadora puede ser reducida a la búsqueda de la (de base 10) logaritmo de números (estrictamente) entre 1 y 10 a través de la notación científica $$\log_{10}(x)=\log_{10}(a\times 10^n)=\log_{10}(a)+\log_{10}(10^n)=\log_{10}(a)+n,\,\,\,(*)$$

y que podríamos compilar (aproximado) logaritmo tablas para $1<a<10$ y, por tanto, podemos calcular los registros de base 10. Sin embargo, esto ahora se puede hacer con una calculadora... y ¿por qué se desea calcular el $\log_{10}(x)$ en el primer lugar?

Otra razón por la que podríamos necesitar $\log_{10}(x)$ es resolver ecuaciones como

$$b^x=n.$$

Ahora sabemos que $x=\log_bn$ pero podemos utilizar el cambio de base de la "fórmula" para expresar esto en términos de logaritmo base 10. Por supuesto, el cambio de base "fórmula" proviene de un cálculo como

$$\begin{align} \log_{10}(b^x)&=\log_{10}n \\\Rightarrow x\log_{10}(b)&=\log_{10}n \\ \Rightarrow x&=\frac{\log_{10}n}{\log_{10}b}. \end{align}$$ Sin embargo, el nuevo modernas calculadoras puede calcular el $\log_bn$ en el primer lugar.

Entonces se podría decir ¿qué acerca de la solución $$b^{f(x)}=c^{g(x)}.$$ Así que usted no necesita tomar un base-10 log: tenemos perfectamente buena base $e$ natural de registro!

En mi actualmente estrecho punto de vista, me parece que es sólo cosas como la Escala de Richter y de intensidad del sonido y similares magnitudes derivadas y las escalas que realmente el uso de la base de 10 los registros y que, aunque se base $e$ de los registros son claramente útiles, que la pre-eminencia de la base de 10 los registros es debido sólo a por la la-mano-de cálculo (*).

Pedir a una pregunta concreta... base $e$ es claramente especiales:

Son la base de 10 los registros de 'especial', sólo por la "facilidad" de cálculo (o debo decir que la aproximación) los registros de base 10?

O me estoy perdiendo algo? La razón por la que estoy buscando en este caso es que tengo una sección de (precálculo) matemáticas notas que está dirigida "a Dos Distinguidas Bases" y estoy pensando en tirar la base 10.

Answer 1

Sí, $10$ no es matemáticamente significativo como una base de $e$ es. Usando la base de 10 los registros es estrictamente para el beneficio de la no-informáticos de cálculo y de estimación (que, nota, puede incluir cosas tales como el de la simple lectura de un gráfico con una escala en dB), y la consistencia con los previamente establecidos convenios. Esto puede no ser de interés para los matemáticos, pero dudo que los ingenieros quieren renunciar a ella.

Para estos fines, $10$ tiene al menos una característica útil más allá de ser la base de nuestro sistema de numeración: $\log_{10} 2 = 0.301 ≈ 0.3$. Esto es muy común en la aproximación que $3$ dB corresponde a una doble o la mitad de la cantidad de interés. Podríamos conseguir una similar simplicidad mediante el uso de $\log_{2}$, pero $\log_2 10 = 3.321…$ que no es tan conveniente para la estimación.

La elección de la base de $10$ produce agradable casi la décima parte-de-una-entero de los resultados para los números de la forma $10^x2^y$ (por entero $x$ y un entero pequeño $y$), mientras que una base arbitraria $b$ sólo está garantizada para ser agradable para $b^x$.

(Esto sugiere mayor investigación, a saber, la evaluación de otras bases de $10$, $2$, y $e$ por tener similar casi entero aproximaciones. Voy a ver si puedo conseguir en torno a la programación de este tipo de comparación y su inclusión aquí.)