¿Por qué son estas dos definiciones de un perfectamente normal equivalente de espacio?

Question

He estado rozando a través de algunos topología de los libros de texto recientemente. Algunas fuentes (como el de Munkres' Topología y Willard de la Topología General) definir un espacio de $(X,\mathcal{T})$ a ser perfectamente normal iff $X$ es normal y cada conjunto cerrado es un $G_\delta$, es decir, un contable de intersección de bloques abiertos. Otras fuentes (tales como Dudley de Análisis Real) definir un espacio de $(X,\mathcal{T})$ a ser perfectamente normal iff para cada conjunto cerrado $A$, existe una función continua $f$ a $\mathbb{R}$ tal que $A=f^{-1}(\{0\})$.

Hay una buena, completa la prueba de por qué estas dos definiciones son de hecho equivalentes? Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $f\colon X\to Y$ es continua y $A\subseteq Y$$G_\delta$,$f^{-1}(A)$$G_\delta$.

Prueba: Vamos a $A=\bigcap U_i$ donde $U_i$ está abierto, y deje $V_i=f^{-1}(U_i)$. Desde $f$ es continua $V_i$ está abierto. Ahora vamos a mostrar que el $G=\bigcap V_i = f^{-1}(A)$.

Deje $x\in G$, entonces para cada a $i\in\omega$ tenemos $x\in V_i$, lo $f(x)\in U_i$ todos los $i$, y por lo $f(x)\in A$. Por lo tanto,$x\in f^{-1}(A)$.

En la otra dirección, deje $x\in f^{-1}(A)$, luego tenemos a $f(x)\in U_i$ todos los $i$, por lo $x\in V_i$ todos los $i$, lo $x\in G$.

El resto de la siguiente manera a partir de la normalidad.

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Añadió:

Supongamos $X$ es normal y cada conjunto cerrado es $G_\delta$. Deje $A$ ser un conjunto cerrado, a continuación, $A=\bigcap U_i$ algunos $U_i$ abierto, $i\in\omega$. Sin pérdida de generalidad $U_i\subseteq U_k$ $i\ge k$ (o $U'_i = U_i\cap \bigcup_{j<i} U_j$ como abrir conjuntos de lugar).

Desde $X$ es normal, tenemos $f_i\colon X\to[0,1]$ que $f_i[A]=0$, e $f_i[X\setminus U_i] = 1$.

Ahora defina $f\colon X\to[0,1]$ como:

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{f_k(x)}{2^k}$$

Esta es una función continua, y $f[A]=0$. Supongamos $f(x)=0$ $f_i(x)=0$ todos los $i$, por lo $x\in A$.