Simétrica vs Positiva semidefinite

Question

Esto puede ser trivial o irrelevante que se trate. Lo siento mucho, si es así.

¿Por qué los matemáticos utilizan sólo simétrica matrices cuando quieren positiva semi/definitiva de las matrices? Me refiero a que no he visto el uso de no-simétrica positiva semi/definitiva de las matrices. Si no simétrica positiva semi/definitiva matrices existen pueden los ser siempre escrita por un simétrica PSD de la matriz?

Gracias

Answer 1

En primer lugar, se puede argumentar que no simétrica positiva definida matrices son patológicos, en el sentido de que al mover el complejo caso de que todos positiva definida matrices son hermitian.

Para un no-simétrica positiva definida la matriz se puede decir poco más que el hecho de que tiene autovalores positivos. Usted no tiene muchas de las propiedades de simetría, añade. Por ejemplo, sin simetría, usted ni siquiera tiene que los valores singulares de acuerdo con los valores propios, ni diagonalizability.

Edit: he aquí por qué en el caso complejo, positivo semidefinite implica hermitian. En realidad, la prueba implica que en el caso complejo, $A$ es hermitian si y sólo si $x^*Ax\in\mathbb R$ todos los $x$.

Suponga $x^*Ax\in\mathbb R$ todos los $x$. entonces $$ \mathbb R\ni(y+\alpha x)^*(y+\alpha x)=y^*Ay+\overline\alpha\,x^*Ay+\alpha\,y^*Ax+|\alpha|^2\,x^*Ax. $$ Como esta expresión es real, es igual a su conjugado complejo $$ y^*Ay+\alpha\,y^*^*x+\overline\alpha\,x^*^*y+|\alpha|^2\,x^*Ax. $$ Así $$ \overline\alpha\,x^*Ay+\alpha\,y^*Ax=\alpha\,y^*^*x+\overline\alpha\,x^*^*y. $$

Toma la primera a $\alpha=1$ y, a continuación,$\alpha=i$, obtenemos $$ x^*Ay+y^*Ax=y^*^*x+x^*^*y, $$ $$ -i\,x^*Ay+i\,y^*Ax=i\,y^*^*x-i\,x^*^*y. $$ Multiplicando la primera ecuación por $i$ y sumando, obtenemos $$ 2i\,y^*Ax=2i\,y^*^*x. $$ Como esto funciona para cualquier $x,y$, podemos deducir que $A=A^*$.