Embedd la botella de Klein en una 3-variedad

Question

Puede la botella Klein $K$ ser embebido en $S^{2} \times S^{1}$? Si puede, cómo funciona. Si no, hay una obstrucción? Gracias de antemano.

Answer 1

La botella de Klein puede ser dado por $S^1 \times [0,2\pi] $ con el identificition

$$(\theta, 0) \sim (-\theta, 2\pi)$$

(donde yo solía $\theta$ a parametrizes el círculo). Ahora definir

$$S^1 \times [0,2\pi] \to S^2 \times S^1, \ f(\theta, t) =\big( a(\theta, t), e^{it} \big),$$

donde

$$a(\theta, t ) = \sin\theta (\cos\frac{t}{2} , \sin \frac{t}{2}, 0)+ \cos \theta (0,0,1).$$

Tenga en cuenta que

$$f(-\theta, 2\pi) = (a(-\theta, 2\pi ), e^{i2\pi}) = (a(-\theta, 2\pi ), e^{i0}) $$

y

\begin{equation} \begin{split} a(-\theta, 2\pi ) &=\sin(-\theta) (\cos \pi , \sin \pi, 0)+ \cos (-\theta) (0,0,1)\\ &= \sin \theta (\cos 0 , \sin 0, 0)+ \cos \theta (0,0,1) \\ &= a(\theta, 0) \end{split} \end{equation}

Por lo tanto $f(\theta, 0) = f(-\theta, 2\pi)$ $f$ desciende a un mapa

$$\tilde f: K \to S^2 \times S^1. $$

Tenga en cuenta que $\tilde f$ es inyectiva.