Mi pregunta es, ¿podemos afirmar que el número de soluciones a $x^n=e$ en el grupo $G$ es divisible por $n$ $n | |G|$
Al parecer, la respuesta es que es cierto, de hecho, para la ecuación de $x^n = a$ cualquier $a \in G $ también, sin embargo he tenido muchas ideas de cada una de ellas tiene un pequeño defecto con ellos.
Por ejemplo, he tratado de inducción sobre el orden de $G$ como sigue:
Asumir cierto para todos los grupos de orden $ \leq k$. Considere la posibilidad de $|G| = k+1$.
Si $G$ es cíclica, es decir, nos muestran con bastante facilidad el resultado se mantiene. (De hecho si no recuerdo mal hay $n$ soluciones para cada divisor $n$).
Si $G$ no es cíclica, podemos mirar a los subgrupos de $G$. Sería bueno decir que el número de soluciones en cada grupo es divisible por $n$ por la hipótesis de inducción y obtener la respuesta deseada por la inclusión-exlusion de soluciones en todos los subgrupos, sin embargo podríamos potencialmente tiene un subgrupo de orden menor que $n$ y todavía contienen una solución.
Así que si hemos sido capaces de demostrar que funciona para todos los subgrupos de órdenes de $ < n$ colectivamente nos llevaría a cabo. No tengo idea de si esto puede funcionar, aunque.
Hice ver a esta pregunta El número de soluciones de $x^n = e$ en un grupo finito es un múltiplo de n, siempre que n divide al orden del grupo. sin embargo no pude encontrar mucha ayuda. A partir de la sugerencia me las arreglé para mostrar $no. solutions = \sum_{ d|n} \lambda_{i} \phi(d)$ algunos $\lambda_{i}$s, sin embargo, podrían ser diferentes así que no sólo puede utilizar el sabe muy bien la suma de euler-phi fórmula.
Cualquier solución/ideas, sería muy apreciada.
