El inverso de una matriz triangular invertible (ya sea superior o inferior) es triangular del mismo tipo

Question

¿Cómo podemos demostrar que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es triangular superior (inferior)?

Answer 1

Supongamos que $U$ es superior. El $i$ ª columna $x_i$ de la inversa viene dada por $Ux_i=e_i$ donde $e_i$ es el $i$ vector unitario. Por subsitución hacia atrás se puede ver que $(x_i)_j=0$ para $i+1\leq j\leq n$ . Es decir, todas las entradas del $i$ columna de la inversa por debajo de la diagonal son cero. Esto es cierto para todos los $i$ y por lo tanto la inversa $U^{-1}=[x_1|\ldots|x_n]$ es triangular superior.

Lo mismo funciona para el triángulo inferior utilizando la subsitución hacia delante.