Hacer la serie infinita converge

Question

Necesito examinar la convergencia de la siguiente serie infinita: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin \sqrt{n}}{n^{3/2}}, \,\,\,\, \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{\sqrt{n}}, \,\,\,\,\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin \sqrt{n}}{n^{3/4}} $$

Yo era capaz de mostrar que los dos primeros convergen. (1) he utilizado $|\frac{\sin n}{n^{3/2}}| \leq \frac{1}{n^{3/2}}$ y la comparación con un convergente la serie p para probar que converge.

(2) he utilizado la prueba de Dirichlet saber que $\sum_{n=1}^m \sin n$ es limitado para todos los $m$ converge.

Con la tercera serie, la comparación de $|\frac{\sin \sqrt{n}}{n^{3/4}}| \leq \frac{1}{n^{3/4}}$ no ayuda y estoy bastante seguro de $\sum_{n=1}^m \sin \sqrt{n}$ es no acotada.

Estoy seguro de cómo avanzar con esta tercera serie.

Answer 1

La tercera serie es convergente. Mientras no monotónica, un tipo de integral de la prueba se aplica.

Podemos mostrar, en general, una serie de $\sum_{k=1}^\infty f(k)$ integral $\int_1^\infty f(x) \, dx$ convergen y divergen juntos si $f'$ es absolutamente integrable sobre $[1,\infty).$

La convergencia de la serie $$\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin \sqrt{k}}{k^{3/4}},$$

sigue a partir de la convergencia de la integral impropia

$$\int_1^\infty \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{3/4}} \, dx = \int_{1}^{\infty}\frac{2u\sin u}{u^{3/2}} \, du = 2 \int_{1}^{\infty}\frac{\sin u}{\sqrt{u}} \, du,$$

donde el lado derecho de la integral converge por la prueba de Dirichlet.

La integración por partes, vemos

$$\int_{k-1}^k (x - \{x\})f'(x) \, dx= \int_{k-1}^k (x - k +1)f'(x) \, dx \\ = \left.(x - k +1)f(x)\right|_{k-1}^k - \int_{k-1}^k f(x) \, dx \\ = f(k) - \int_{k-1}^k f(x) \, dx.$$

Por lo tanto,

$$|C_k| := \left|f(k) - \int_{k-1}^kf(x) \, dx\right| \leqslant \int_{k-1}^k\left| (x - \{x\})f'(x)\right| \, dx \leqslant \int_{k-1}^k|f'(x)| \, dx$$

y hemos de convergencia absoluta

$$\sum_{k=2}^\infty|C_k| \leqslant \int_1^\infty |f'(x)| \, dx < \infty.$$

Esto implica la convergencia de

$$\sum_{k=2}^\infty C_k = \sum_{k=2}^\infty f(k) - \int_1^\infty f(x) \, dx,$$

de ahi la serie e integral debe converger o divergir juntos.

En este caso con $f(x) = \sin \sqrt{x}/x^{3/4}$ hemos

$$\int_1^\infty |f'(x)| \, dx = \int_1^\infty \left|\frac{\cos \sqrt{x}}{2x^{5/4}} - \frac{3 \sin \sqrt{x}}{4 x^{7/4}} \right| \, dx < \infty$$