Si $p$ es un número primo,muestran que $2(p-3)!+1$ es un múltiplo de a $p$.

Question

Yo tengo una pregunta que es la siguiente:

Si $p$ es un número primo, muestran que $2(p-3)!+1$ es un múltiplo de a $p$.

Sé que esta pregunta puede ser resuelto usando el teorema de Wilson, que es la única cosa que puedo aplicar en este tipo de situaciones, pero no sé cómo lo puedo usar aquí.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Usted tiene derecho, el uso del teorema de Wilson es suficiente aquí.

Por el teorema de Wilson, $p\mid (p-1)!+1$ (Donde $p$ es primo);

es decir,
$$ \begin{align}p&\mid 1+(p-1)(p-2)(p-3)!\\ \implies p&\mid(p^2-3p+2)(p-3)!+1\\ \implies p&\mid 1+(p^2-3p)(p-3)!+2(p-3)!\\ \implies p&\mid 1+p(p-3)(p-3)!+2(p-3)!\\ \implies p&\mid 1+2(p-3)! \end{align} $$ Como $p\mid p(p-3)(p-3)!$

Esto implica $1+2(p-3)!$ es un múltiplo de a $p$.

Creo que es lo que se necesita para probar.

Answer 2

Sugerencia: que Multiplicar el número por $(p-2)(p-1)$. A continuación, utilice teorema de Wilson.

Answer 3

$(p-1)! \equiv -1 \mod p$ (Wilson del teorema). Por eso, $(p-3)!(p-2)(p-1) \equiv (p-3)!(-2)(-1) \equiv 2*(p-3)! \equiv -1 \mod p$. Por eso, $2*(p-3)!+1 \equiv 0 \mod p$