¿Qué es un ejemplo de las infinitas dimensiones del subespacio que no está cerrado?

Question

En un teorema que estoy leyendo acerca de subespacio cerrado el autor afirma que una de infinitas dimensiones subespacio no necesita ser cerrado.

¿Qué es un ejemplo de las infinitas dimensiones del subespacio que no está cerrado?

Answer 1

Tome $C([0,1],\|\|_{\infty})$ y el subconjunto de polinomios. Cada función continua es un límite de polinomios de Piedra de Weirstrass. Así, el subconjunto de funciones polinómicas de $C([0,1])$ es densa, por lo que no es cerrado.

Answer 2

Deje $\ell^2$ ser el espacio de la plaza de todos-summable reales (o complejos) secuencias de $x = (x_1,x_2, \ldots)$ norma $\|x\| = \displaystyle ( \sum |x_i|^2)^{1/2}$. Deje $V \subset \ell ^2$ ser el subespacio de todas las secuencias con todos, pero de un número finito de entradas iguales a cero. A continuación, $V$ es de dimensiones infinitas, pero no cerrado. No está cerrado debido a su cierre contiene el punto límite $(1,1/2, 1/3, \ldots)$