¿Por qué es el promedio de $n$ los números dados por $(a+b+c+\cdots)/n$? Puedo deducir la fórmula para el promedio de los números 2, que era fácil porque también es el punto medio, pero yo no podía hacerlo por más de 2 números.
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- Media aritmética. ¿Por qué funciona? (5 respuestas )
Respuestas
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Supongamos que todos nosotros, reunidos aquí, en esta habitación de tomar todo el dinero de nuestro bolsillo y lo puso sobre la mesa, y luego lo dividimos entre nosotros de tal manera que todos tenemos la misma cantidad. La cantidad total es el mismo. Entonces la cantidad de cada uno de nosotros tiene es el promedio. Eso es lo que los promedios son.
Es la cantidad total $a+b+c+\cdots$. El número de los que estamos aquí reunidos es $n$. Así que la cantidad que cada uno de nosotros tiene es $(\text{total}/n).$
Nick Peterson
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En la mayoría de los contextos, lo que pasa por un "promedio" puede ser pensado de esta manera: si se reemplaza una colección de instancias independientes con su 'media', se obtiene el mismo resultado.
La costumbre decir viene de que esta manera de pensar para la adición: si usted tiene los números de $a_1,\ldots,a_n$, su suma es $a_1+\cdots+a_n$. Si reemplaza todos ellos con su media de $\mu$, también se obtiene el $a_1+\cdots+a_n$.
Por lo tanto, $\mu$ debe satisfacer $$ n\mu=a_1+\cdots+a_n, $$ que conduce a la fórmula que hemos visto.
Como otro ejemplo: hacer lo mismo pero para la multiplicación conduce a la media geométrica $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$.
grjj3
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34
Aquí está una perspectiva ligeramente diferente sobre lo que Nick y Michael ya se dijo: el promedio de $n$ números de $x_i$ es el único número $\mu$ tal que la suma de las desviaciones $x_i-\mu$ es cero.
A partir de esta característica es fácil derivar la fórmula
$$\mu=\frac{1}{n}\sum x_i$$
Estrechamente relacionados con la caracterización proviene de las estadísticas. Supongamos que queremos encontrar el "número de mejor ajuste" para nuestros puntos de datos $x_i$. Para encontrar este número, en primer lugar debemos decir que lo que cuenta como "mejor".
Una opción popular para medir el "error" de nuestro best-fit "aproximación" el uso de una ecuación cuadrática "función de costo." Más formalmente, la búsqueda de "el número que mejor se ajuste a" cantidades para encontrar el número de $m$ que minimiza la suma de los cuadrados de los errores
$$SSE=\sum (x_i-m)^2$$
Si sabes de algún cálculo (o simple multivariable geometría) se puede demostrar fácilmente que esta función se minimiza precisamente al $m$ es el promedio de las $x_i$. En este sentido, el promedio es el minimizer de los cuadrados de los errores.
Si en lugar de medir el error de la suma de los cuadrática de las desviaciones de $(x_i-m)^2$ utilizamos la suma de las desviaciones absolutas $|x_i-m|$, el minimizer es la mediana en lugar de la media.
De hecho, otros tipos de medios (media geométrica, la media armónica, etc.) puede entenderse el uso de este mismo marco. Ver la Wikipedia página en Fréchet medios.
storm125
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Si Bill Gates entró en un bar lleno de gente, en un promedio, todo el mundo es millonario.
Vagamente, en promedio se supone que es un valor representativo de una muestra. Tipo de. Pero como se puede ver, no tiene por qué ser el caso siempre.
Pero cada vez, el promedio es sin duda esta: si lo que, en conjunto, se distribuye por igual entre todos nosotros, el promedio es de lo que cada uno de nosotros.
Lo que colectivamente se tiene: $a_1+a_2+\cdots+a_n$
¿Cuántos de nosotros estamos allí: $n$
Lo que cada uno podría obtener: $\frac{\text{total}}{\text{number of people}} = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} = \textbf{average}$
Y es por eso que todo el mundo se convierte en un millonario. En promedio. Bill Gates simplemente tiene que mucho. La moral es, los valores atípicos a veces puede ensuciar encima de la media, que sean poco confiables. Otras veces, todo tipo de ha mucho.
PS: lo Llaman media aritmética en lugar de la media. Además, lea la respuesta por @symplectomorphic. Tiene un interesante (y a menudo muy útil) tomar la forma de pensar de una media aritmética.
