Cómo probar si dos presentaciones en grupo son isomorfos

Question

Supongamos que tengo dos presentaciones para grupos:

$\langle x,y|x^{7} = y^{3} = 1, yx = x^2y\rangle$ $\langle x,y|x^{7} = y^{3} = 1, yx = x^4y\rangle$

¿Cuál es el enfoque estándar a la hora de decidir si las presentaciones son isomorfos?

Estoy trabajando a través de una aplicación de la Teoría de Sylow que clasifica a los grupos de orden $21$.

En el texto se dice que estas dos presentaciones anteriores son isomorfos, pero no puedo ver cómo probar o incluso sospechoso.

Answer 1

Bueno, que te gustaría encontrar un conjunto de generadores de un primer grupo que la satisfacción en las relaciones con el segundo grupo. Si nos reescribir $yx=x^2y$ $yxy^{-1}=x^2$ (que se vuelve un poco abstracto de la igualdad en algo un poco más concreto), vemos de inmediato que $y^2xy^{-2}=x^4$ y, de hecho, desde la $y^2$ es de orden 3, $x,y^2$ son los generadores que estás buscando.