Muchas pruebas de los teoremas de estructura para finitos abelian primeros grupos de reducir el problema a $p$-grupos, lo que está bien y es una técnica importante.
Sin embargo, a mí me parece que con una simple prueba puede ser basado en este resultado crucial:
Cada finito abelian grupo tiene un cíclica factor directo. $\qquad(\star)$
De esto se sigue de una vez por inducción sobre el orden del grupo que
Cada finito abelian grupo es un producto directo de grupos cíclicos.
El teorema del resto Chino, a continuación, nos permite dividir estos grupos cíclicos en cíclico $p$-grupos y por lo tanto obtenemos el principal teorema de la descomposición:
Cada finito abelian grupo es un producto directo de la cíclica $p$-grupos.
El teorema del resto Chino, a continuación, nos permite volver a montar estas en un invariante factor de descomposición.
Tenga en cuenta que la prueba es muy fácil una vez que tenemos el resultado crucial $\star$ (y el teorema del resto Chino, claro).
Creo que Mac Lane y Birkoff en su Álgebra de hacer algo a lo largo de esta línea, pero no es muy simple.
¿Alguien sabe una prueba de los teoremas de estructura a lo largo de las líneas anteriores?
En particular, hay una prueba simple del resultado crucial $\star$ ?
(Un bono de lado sería una simple caracterización de los subgrupos cíclicos que son directa de los factores de un finito dado abelian grupo: espero que sean exactamente el máximo cíclico subgrupos.)
