Newton's cradle

Question

¿Por qué, cuando se sueltan 2 bolas en el balancín de Newton, salen 2 bolas del lado opuesto aproximadamente a la misma velocidad que el primer par, en lugar de una bola a mayor velocidad, o 3 bolas a menor velocidad?

Answer 1

Contrario a lo que se afirma en muchos libros de texto, la conservación de energía-momento por sí sola no puede explicar el comportamiento del péndulo de Newton. Para N bolas tenemos dos ecuaciones y N velocidades finales para calcular. Por lo tanto, las leyes de conservación solo pueden hacer el trabajo para N=2. Esto significa que si queremos dar una explicación del comportamiento del péndulo basada en las leyes de conservación, tenemos que dividir la colisión de N bolas en una secuencia de colisiones de dos bolas, como se hace en algunas de las respuestas dadas a la pregunta.

El problema con este enfoque es que asume que inicialmente las bolas no se están tocando entre sí, lo cual no es el caso en la mayoría de los péndulos. Se podría argumentar que no importa realmente que las bolas estén inicialmente en contacto, solo que el tiempo de colisión (el tiempo durante el cual se transfiere el momento de una bola a otra) es mucho más pequeño que el tiempo que tarda la perturbación mecánica en atravesar una bola. Sin embargo, el tiempo típico de colisión es del orden de 0.1 ms, mucho más grande que el tiempo de propagación de alrededor de 0.01 ms. Bajo tales condiciones se debería esperar que la propagación de ondas a lo largo de la cadena de bolas juegue un papel significativo en la dinámica del péndulo.

Hay un buen artículo,

F. Herrmann y P. Schmälzle. Explicación simple de un experimento de colisión bien conocido. Am. J. Phys. 49, issue 8, pp. 761 (1981). doi: 10.1119/1.12407. Versión de acceso abierto en el sitio web del Karlsruher Physikkurs de F. Herrmann.

mostrando que la propagación de ondas a lo largo de la línea de bolas debe ser libre de dispersión si queremos encontrar el mismo número de bolas entrantes y salientes. Los autores también proporcionan una imagen interesante de cómo el sistema decide cuántas bolas va a enviar. Básicamente, el primer impacto produce dos pulsos de onda moviéndose en direcciones opuestas a lo largo de la línea de bolas. Los pulsos se reflejan en los extremos de la línea y se encuentran nuevamente en el punto donde la cadena de bolas se rompe. Es fácil ver que este punto de ruptura es simétrico (con respecto al centro de la línea) al punto de impacto, lo que explica por qué el número de bolas salientes es igual al de las entrantes.

Answer 2

Conserva tanto la energía como el momento en la colisión al mismo tiempo.

Por diseño, cuando las pelotas chocan, las cuerdas que las sostienen están verticales (asumiendo que las pelotas solo se balancean desde un lado). Esto significa que no hay fuerzas horizontales de la cuerda en las pelotas, por lo que el momento lineal en la dirección del balanceo debe conservarse en la colisión. La energía también se conserva casi completamente siempre que no se produzcan demasiado ruido y calor.

Considera el caso de las dos pelotas donde cada pelota tiene masa $m$ y velocidad $v$ en el momento de la colisión. La energía cinética será $E = mv^2$ y el momento $p = 2mv$. Supongamos que $n$ pelotas salieran volando al otro lado con velocidad $u$. La energía sería $\frac{n}{2} mu^2$ y el momento $nmu$. Así que por conservación debemos tener $mv^2 = \frac{n}{2} mu^2$ y $2mv = nmu$. No es difícil ver que la única solución a estas ecuaciones juntas es $n=2$ y $u=v$.

Un análisis más completo descartaría soluciones con diferentes pelotas saliendo a diferentes velocidades, pero creo que esto es suficiente para demostrar el principio.

Answer 3

Comencemos con una observación de billar. Digamos que la bola roja está quieta y la golpeas directamente con la bola blanca a velocidad $v$. La bola blanca se detendrá y la bola roja continuará a velocidad $v$. Lubos dio una buena y simple descripción de esto en su respuesta. Puedes verlo suceder al principio de este video.

Ahora imagina una fila de bolas (rojo-naranja-amarillo-verde-azul-violeta, por ejemplo) alineadas perfectamente.

Golpeas la roja directamente con la bola blanca, y la bola blanca se detiene y la bola roja avanza. Después de un momento, la bola roja golpea la bola naranja. La roja se detiene y la naranja continúa. Luego la naranja golpea a la amarilla y se detiene, etc. En última instancia, la bola violeta sale de la fila, y todas las otras bolas en la fila solo se han movido un poco por la mesa. Una bola entra, una sale. Puedes ver algo muy parecido a esto suceder a los 50 segundos de el mismo video (aunque no es perfecto).

Lo hacemos de nuevo. Alineamos todas las bolas, pero esta vez rodamos la bola blanca hacia la bola roja, y rodamos la bola negra justo después.

La bola blanca golpea la bola roja y se detiene; la bola roja avanza, como antes. La roja golpea a la naranja. Esta vez, eso no es lo único que sucede. Simultáneamente con esa colisión, la bola negra choca contra la bola blanca detenida. Después de estas colisiones hay dos bolas en movimiento - la naranja al frente, y la bola blanca, que ahora ha tenido dos colisiones, una al frente y otra por detrás.

Este proceso se repite, avanzando por la línea, siempre con dos bolas en movimiento y una bola estacionaria entre ellas. Cerca del final, las dos bolas en movimiento son la bola violeta (última) y la bola verde (tercera desde el final). La bola violeta está libre, pero la bola verde impacta con la azul, y esa es la última colisión. El resultado es que las bolas azul y violeta se alejan de la fila. Todo lo demás se detiene. Dos bolas entraron, y dos salieron.

A partir de aquí no es difícil ver que podríamos enviar tres, cuatro o incluso 100 bolas (en teoría) y obtener la misma cantidad de salida.

La dificultad con esta explicación es que en el péndulo de Newton, las bolas físicamente se tocan, por lo que el argumento de parada-arranque no se aplica de la misma manera. Este análisis simple debería hacer plausible el péndulo de Newton, pero un argumento completo depende de estudiar la mecánica de contino asociada con las colisiones entre cuerpos sólidos. Este artículo, mencionado por Georg en los comentarios, provee dicho análisis.

Nota: No vi el video de YouTube hasta el final y no necesariamente respaldo todo lo que dice sobre física. Solo quería ejemplos de esos tiros. Además, las bolas en el billar están rodando, lo cual a veces puede marcar la diferencia en comparación con el péndulo de Newton, pero aquí asumiremos que no.

Answer 4

Primero, tengo una aplicación gratuita para iPhone para el péndulo de Newton, llamada Kinetic Balls, que tiene alrededor de 500 skins. ;-)

Los eventos en el péndulo consisten en muchos pasos, aunque ocurren rápidamente uno tras otro. En particular,

si tienes cinco bolas, la primera bola comienza chocando con la segunda bola, la segunda bola golpea a la tercera bola, la tercera bola golpea a la cuarta bola, la cuarta bola golpea a la quinta bola. ¿Ok?

Así que estudiemos qué sucede cuando la primera bola desde la izquierda golpea a la segunda bola desde la izquierda. La velocidad de la primera bola es $v$ antes de chocar con la segunda. Ahora, simplifica las cosas mirando la colisión desde el sistema del centro de masa de las dos primeras bolas.

Es necesario mencionar que el centro de masa se mueve con una velocidad que es el promedio de las velocidades de las primeras dos bolas (de igual peso). Como la primera se mueve con $v$ hacia la derecha y la segunda tiene una velocidad de $0$, el promedio es $v/2$, ¿OK?

Antes de la colisión, la primera bola se mueve con una velocidad de $v-v/2=v/2$ respecto al sistema del centro de masa, y la segunda bola se mueve con una velocidad de $0-v/2=-v/2$ respecto al sistema del centro de masa.

¿Qué sucede después de la colisión? Las bolas no pueden penetrarse entre sí, por lo que su velocidad relativa tiene que cambiar de signo: las velocidades simplemente se invierten. Cambian de signo. La situación es completamente simétrica con respecto al intercambio de las dos bolas combinado con la reflexión de "izquierda" y "derecha" en el espacio. En consecuencia, las dos velocidades finales (en el sistema del centro de masa) aún deben ser iguales con signos opuestos. La magnitud general está garantizada que sea la misma que antes de la colisión, para conservar la energía cinética $2 \times mv^2/2$. Los signos deben ser opuestos entre sí, pero también opuestos a los iniciales porque las bolas no pueden penetrarse unas a otras.

Entonces, en el sistema del centro de masa, después de la colisión, la bola izquierda se moverá con una velocidad de $-v/2$ y la bola derecha se moverá con $+v/2$. Al transformar de nuevo al cuadro de laboratorio desde el cuadro del centro de masa, tenemos que agregar nuevamente $v/2$. Por lo tanto, la velocidad final de la primera bola será cero, mientras que la velocidad final de la segunda bola será $v/2+v/2=v$. ¿OK?

Ahora, la segunda bola se acerca a la tercera bola a una velocidad de $v$ mientras que la tercera bola está en reposo. Tomemos el cuadro de descanso de estas dos bolas.

Ahora, repite el cuento de hadas anterior cuatro veces: podría hacerlo, sería muy emocionante, pero quiero guardar los discos duros del servidor, y terminarás con la situación en la que las primeras cuatro bolas están en reposo y la quinta se mueve con una velocidad de $v$ hacia la derecha.

Answer 5

Dado que las bolas iniciales no rebotan, la pregunta original puede ser respondida directamente como muestra la respuesta principal, pero necesita especificar que asumía que las otras bolas no rebotaban o se movían de otra manera. Puedo explicarlo sin matemáticas: la cantidad de bolas que salen a una velocidad más lenta o más rápida no puede variar porque la energía y el momentum deben conservarse, y cada uno es una función diferente de la velocidad. Si cambias la velocidad, y si ninguna otra bola se mueve, entonces estarías violando uno de los principios de conservación. Por ejemplo, si solo 1 bola saliera con el doble de velocidad, el momentum sería el mismo (conservado) que el de las 2 bolas entrantes, pero habría el doble de energía en la bola saliente de la que había en las 2 bolas entrantes. Por el contrario, si 4 bolas salieran con la mitad de la velocidad, el momentum se conservaría, pero la energía sería la mitad de la que se puso ahí.

Sin embargo, es mucho más difícil responder la pregunta si se permite que otras bolas rebote en la dirección opuesta.

Las respuestas basadas en la separación no son correctas y un usuario sugirió cómo se puede explicar realmente el dispositivo. Es solo un accidente que el cálculo de golpes independientes en serie sea correcto para múltiples bolas de peso igual. Imagina 3 bolas con la del medio que es mucho más pesada. La primera bola rebotará, lo cual no es lo que sucede cuando están en contacto. Entonces, el cálculo es incorrecto por una razón fundamental. Cuando están en contacto, la bola pesada del medio está en un estado comprimido, aún no empujando hacia atrás en la primera bola para hacerla rebotar antes de liberar energía a la última bola. Esto no se puede modelar con un par de golpes seguidos por otro. Para verlo más claramente, modela las bolas como resortes grandes y débiles.

Desde wiki: "En el punto de colisión, dos ondas de choque se propagan, una hacia adelante y una hacia atrás. Están llevando toda la energía cinética de las bolas previamente en movimiento como energía potencial en la compresión elástica del metal. La onda que va hacia atrás se refleja hacia adelante cuando llega al inicio de la cadena de bolas, yendo detrás de la onda que se movía hacia adelante primero. La primera onda llega al final y se refleja, chocando con la onda retardada en un punto simétrico al punto inicial de la colisión, forzando a las bolas a separarse, liberando la energía potencial como energía cinética. Esta explicación es más complicada si se dan bolas de peso igual de longitudes diferentes o si las bolas tienen diferentes pesos, pero la solución para las velocidades finales se puede encontrar examinando la compresión y la expansión de los metales como resultado de las ondas de choque. La conservación de la energía y el momentum son adecuados para explicar el sistema si se incluye la energía potencial y el tiempo de transición en los cálculos de conservación de la energía."

Ahora para responder a la pregunta original: Como el otro usuario dijo, la onda de choque se encuentra en un punto simétrico a la colisión original. Sin embargo, la respuesta es más complicada si las bolas al final son del mismo peso pero de longitudes diferentes. Las ondas de choque no se encontrarán en primer lugar, pero el sistema en expansión del metal eventualmente causará que las bolas de igual peso se separen para que las bolas iniciales no reboten.

Actualización/Corrección Importante:

Al analizar esto con mucho más detalle, descubrí que nadie entiende cómo funciona el péndulo. La teoría de la onda de choque reflejada proviene de: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part1.pdf

pero estos investigadores siguieron este artículo con esto: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part2.pdf
y luego otros: http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~ghassan/newton_cradle_2.pdf

en los cuales muestran que el tiempo de colisión es 10 veces más lento que la propagación de la onda de sonido (de choque) lo que indica que la "compresión hertziana" (no simplemente ondas de choque) describe al péndulo al incluir la elasticidad de las interfases entre las bolas. Hay 4 interfaces en 5 bolas, por lo que la energía y el momentum dan la solución para la velocidad final de 2 bolas y luego la proporción de las 3 interfaces subsiguientes a la primera interfaz da las 3 variables necesarias para resolver las otras 3 bolas. Aplican $F=ma$ a cada bola donde está en contacto con 1 o 2 vecinos, sujetos a una fuerza de resorte pseudohertziano en el contacto superficial de $F=kx^{1.5}$ en lugar de $F=kx$. Esto da un conjunto de ecuaciones diferenciales interdependientes que expondré para el caso más general de masas diferentes y constantes superficiales de resortes diferentes (módulo de Young) al final. Esto puede concordar con el experimento en el caso de 1 bola chocando con 4 que están en contacto, pero proporciona una solución para el caso de 2 chocando con 3 que no es correcta. Resolví este sistema de ecuaciones en Excel y obtuve el mismo resultado que este artículo: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/hinch/publications/PRSLA455_3201.pdf en el cual las velocidades de las bolas 4 y 5 teóricamente serían 0.80 y 1.14 veces la velocidad de las 2 bolas entrantes. El artículo asegura que puedes observar la diferencia en la velocidad, pero no hacen hincapié en que esta es una diferencia de 2 veces en la energía cinética y por lo tanto, la altura alcanzada por la 5ta bola es 2 veces más que la de la 4ta, lo cual no es lo que sucede en absoluto. (Si la 5ta bola sale a 30 grados máximo, teóricamente, la 4ta bola alcanzaría solo 21 grados, lo cual no es lo que sucede: ambas alcanzan los 30 grados al mismo tiempo). Aquí están las ecuaciones $F=ma$ que deben resolverse con Runge-Kutta, si la teoría Hertziana es correcta. Lo hice en Excel.
$x$ es la desviación desde el punto de reposo

$$\begin{align} m_1a_1 &= - A(x_1-x_2)^{1.5} \\ m_2a_2 &= A(x_1-x_2)^{1.5} - B(x_2-x_3)^{1.5} \\ m_3a_3 &= B(x_2-x_3)^{1.5} - C(x_3-x_4)^{1.5} \\ m_4a_4 &= C(x_3-x_4)^{1.5} - D(x_4-x_5)^{1.5} \\ m_5a_5 &= D(x_4-x_5)^{1.5} \end{align}$$

donde

$$\begin{align} A=\left(\frac2{(1/{k_1})^{2/3}+(1/{k_2})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ B=\left(\frac2{(1/{k_2})^{2/3}+(1/{k_3})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ C=\left(\frac2{(1/{k_3})^{2/3}+(1/{k_4})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ D=\left(\frac2{(1/{k_4})^{2/3}+(1/{k_5})^{2/3}}\right)^{1.5} \end{align}$$

Para enchufar en Runge-Kutta: $$a=\frac{\mathrm dV(t)}{\mathrm dt}\ \text{y}\ x=tV(t)$$

$A, B, C, D$ son la constante efectiva neta del resorte entre cada par de bolas para la compresión superficial.

Entonces, para 2 o más bolas chocando con las otras, nadie sabe cómo funciona. Incluso tan tarde como 2004, estos artículos fueron descritos incorrectamente como la solución completa: http://www.maths.tcd.ie/~garyd/Publications/Delaney_2004_AmJPhys_Rocking_Newtons_Cradle.pdf