$a^3+3a^2+a$ no es un cuadrado perfecto.

Question

Demostrar que no número de la forma $ a^3+3a^2+a $, para un número entero positivo $a$, es un cuadrado perfecto.

Este problema se publicó en el concurso nacional italiano (Cesenatico 1991). He estado tratando de resolverlo usando aritmética modular, sin éxito. Gracias por su interés en esta cuestión.

Answer 1

% Bien $a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)$y ver que $\gcd(a,a^2+3a+1)=1$. Por lo que si es un cuadrado, entonces $a^2+3a+1$ tiene que ser un cuadrado también.

Pero eso no es posible, ya que es estrictamente entre $(a+1)^2=a^2+2a+1$y $(a+2)^2=a^2+4a+4$.

Answer 2

Ya hay una escuela primaria de la prueba aquí, pero yo sólo quería decir que esta ecuación define una curva elíptica $E:y^2=x^3+3x^2+x$. El Mordell-Weil teorema establece que el conjunto de puntos racionales es un finitely generado abelian grupo, por lo que $$E(\mathbb{Q})\cong T_E \times \mathbb{Z}^{R_E},$$ donde $T_E$ es un subgrupo finito, y $R_E\geq 0$ se llama el rango de la curva elíptica. Hay métodos para calcular los $T_E$ $R_E$ (tales como la Nagell-Lutz teorema, o el método de $2$-descenso), y estos métodos son implementados en software, tales como la Salvia y el Magma. En este caso: $$T_E=\{\mathcal{O}, (-1,-1), (0,0), (-1,1)\} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},$$ donde $\mathcal{O}$ es el punto en el infinito con coordenadas proyectivas $[0,1,0]$, e $R_E=0$, por lo que no hay puntos de orden infinito. Así que el conjunto de todos racional puntos (no sólo integral puntos) en $E$ es: $$E(\mathbb{Q})=\{\mathcal{O}, (-1,-1), (0,0), (-1,1)\}.$$

He calculado la torsión y la clasificación utilizando la línea de Magma de la calculadora:

E:=EllipticCurve([0,3,0,1,0]);

Rango(E);

TorsionSubgroup(E);

Desde todos los puntos de la $0$ o $-1$ sus $x$-coordinar, el resultado deseado de la siguiente manera.