Estoy terminando el capítulo 1 del libro de Apostol Introducción a la teoría analítica de números . He realizado casi la mitad de los 30 problemas planteados. Tengo algunas dudas sobre las pruebas que produzco, ya que a veces parece que asumo información extra, o parece que asumo cosas que son obvias, cuando eso es precisamente lo que hay que demostrar. Sin embargo, no estoy seguro de estas pocas $(3)$ y $(4)$ parece correcto.
$(1)$
TEOREMA Si $(a,b)=1$ y $ab=c^n$ entonces $a=x^n$ y $b=y^n$ para algunos $x,y$ .
PROOF Si $(a,b)=1$ entonces tenemos
$$a = \prod p_i^{a_i}$$
$$b = \prod p_j^{b_j}$$
donde $p_j \neq p_i$ para cualquier $i,j$ . Dejemos que $c=\prod p_m ^{c_m}$ y el $p_j$ y $p_i$ están determinados de forma única. Entonces
$$ab=\prod p_i^{a_i}p_j^{b_j}=\prod p_m ^{nc_m}$$
Pero esto significa, ya que $p_i \neq p_j$ que
$$a_i =nc_{m_i}$$ $$b_j =nc_{m_j}$$
Así,
$$a = \prod p_i^{nc_{m_i}}=x^n$$
$$b = \prod p_j^{nc_{m_j}}=y^n$$
Lo que parece que estoy diciendo es "si $a$ y $b$ no tienen factores primos comunes y $ab=c^n$ entonces $a$ y $b$ deben ser de multiplicidad $n$ . Else, $c$ no sería un perfecto $n$ de poder".
Apostol sugiere considerar $d=(a,c)$ .
$(2)$
TEOREMA Por cada $n \geq 1$ existe una determinación única de $a<0$ , $b>0$ tal que $n=a^2b$ , donde $b$ es libre de cuadrados.
PROOF A partir del teorema fundamental de la aritmética, se tiene
$$n=\prod p_i^{a_i}$$ donde el $p_i$ son únicos. Agrupar el producto en dos factores, según la paridad si el $a_i$ s. Si $a_i=2m_i$ , escriba
$$n=\left(\prod p_i^{m_i} \right)^2 \prod p_l^{a_l}$$
El resto $a_l$ son todos impar, a saber $a_i=2n_i+1$ . A continuación, escriba
$$n=\left(\prod p_i^{m_i} \prod p_l^{n_l}\right)^2 \prod p_l$$
$$n=a^2 b$$
Desde el $p_i$ eran únicas, también lo son $a^2$ y $b$ y $b$ es claramente libre de cuadrados.
$(3)$
TEOREMA Si $2^n-1=p$ , donde $p$ es primo, entonces $n$ es primo.
PROOF Reductio ad absurdum.
Supongamos que $2^n-1$ es primo, y escribe $n=qp$ . Entonces
$$2^n-1=2^{qp}-1=(2^q-1)(1+2^q+2^{2q}+\cdots+2^{q(p-1)}$$
así $2^{q}-1\mid 2^n-1$ , $\Rightarrow \Leftarrow$
$(4)$
TEOREMA Si $2^n+1$ es primo, entonces $n$ es una potencia de dos.
PROOF Reductio ad absurdum.
Supongamos que $2^n+1=p$ , $p$ un primo, y $n$ es compuesto
$$n=ed$$ donde $e$ es impar. Entonces está claro $n \neq 2^m$ y $$2^n+1=2^{ed}+1=(2^d+1)(1-2^d+-\cdots+2^{d(e-1)})$$
Así, $2^d+1 \mid 2^n+1$ . $\Rightarrow \Leftarrow$
Entonces $n$ no puede tener ningún factor impar, es decir $n=2^m$ para algunos $m$ .
NOTA : Me importa sobre todo que las pruebas sean correctas o no. Si no lo son hazme saber cuál es el fallo, y por favor pista una corrección. No busco pruebas alternativas, a menos que la prueba sea absolutamente una tontería.
