Cómo describir la compactación de un punto de un espacio

Question

En mi curso de Topología definimos la compactificación en un punto de un espacio de Hausdorff $\left(X,\tau\right) $ para ser un espacio compacto de Hausdorff $\left(Y,\tau^{'}\right) $ tal que $X\subseteq Y$ , $\tau\subseteq\tau^{'}$ y $\left|Y\backslash X\right|=1 $ .

Más concretamente, una de estas construcciones viene dada por la toma de $Y=X\cup\left\{ \infty\right\}$ y definiendo: $$\tau^{'}=\tau\cup\left\{ U\subseteq Y\;|\;\infty\in U\:\wedge\; Y\backslash U\;\mbox{is compact}\right\}$$

Todo esto está muy bien, pero no me da ninguna pista sobre cómo encontrar una "buena representación" de la compactación de un punto de un espacio dado. En concreto, necesito describir una incrustación en $\mathbb{R}^{n}$ de las compactaciones de un punto de cada una de las siguientes:

1. $\left[0,1\right]$
2. $\left(0,1\right)$
3. $\mathbb{N}$

Se agradecería mucho la ayuda.

EDITAR: Acabo de notar que había otra sección a la pregunta sobre la compactación de $X=\left(0,1\right)\times\left\{ 0,1\right\}$ . Como todo esto es en la topología del subespacio de $\mathbb{R}^{2}$ por lo que me parece más conveniente utilizar la "heurística" de tratar de responder a las preguntas "¿cuáles son las secuencias en $X$ que no convergen en $X$ y cómo añadir un punto al espacio para que todas esas secuencias converjan a él". En el caso de $\left(0,1\right)$ la respuesta fue doblar el segmento de línea en un círculo. En este caso, como tengo dos "segmentos de línea" paralelos en $\mathbb{R}^{2}$ parece que la mejor manera de conseguir lo que quiero sería doblar ambos en un $8$ forma, pero no veo qué tipo de mapeo podría hacer eso para mí...

EDITAR 2: Intenté abordar el problema de otra manera, en lugar de intentar doblar $\left(0,1\right)\times\left\{ 0\right\}$ hacia arriba y $\left(0,1\right)\times\left\{ 1\right\}$ hacia abajo para formar dos elipses con un punto en común decidí copiar $\left(0,1\right)\times\left\{ 0\right\}$ y $\left(0,1\right)\times\left\{ 1\right\}$ en dos círculos con un punto $\left(0,0\right)$ en común, lo hice utilizando el siguiente mapeo: $$f\left(x,y\right)=\begin{cases} \left(\sin\left(2\pi x\right),\cos\left(2\pi x\right)-1\right) & \left(x,y\right)\in\left(0,1\right)\times\left\{ 0\right\} \\ \left(\sin\left(2\pi x\right),1-\cos\left(2\pi x\right)\right) & \left(x,y\right)\in\left(0,1\right)\times\left\{ 1\right\} \end{cases}$$ Si no me equivoco esto debería ser un homeomorfismo entre $X$ y la unión de dos círculos de radio 1, uno centrado en $\left(0,-1\right)$ y uno en $\left(0,1\right)$ menos el punto $\left(0,0\right)$ . Entonces la compactación de un punto de dicha unión se obtendría añadiendo el punto $\left(0,0\right)$ (la unión de los círculos es cerrada como la unión de dos conjuntos cerrados y también es acotada y por tanto compacta por el teorema de Heine-Borel). Esta compactación sería a su vez homeomorfa a la compactación de $X$ .

¿Podría alguien confirmar si este tren de pensamiento llega efectivamente a su destino?

Answer 1

CONSEJOS grandes y pequeños:

1. Esta es fácil: $[0,1]$ ya es compacto, por lo que $\{\infty\}$ es un conjunto abierto, y $\infty$ es un punto aislado. Basta con tomar la copia natural de $[0,1]$ en $\Bbb R^n$ y añadir un punto aislado. (Este espacio no suele llamarse compactación de $[0,1]$ porque $[0,1]$ no es un subconjunto denso del mismo: la definición habitual de compactación requiere que el espacio original sea un subconjunto denso de la compactación. Por lo tanto, los espacios compactos de Hausdorff no tienen compactificaciones propiamente mayores).

2. Si $K$ es un subconjunto compacto de $(0,1)$ , $K$ tiene un elemento más pequeño $a$ y un elemento mayor $b$ Así que $K\subseteq[a,b]$ . Por lo tanto, todo nbhd abierto de $\infty$ contiene un conjunto de la forma $(0,a)\cup(b,1)$ . Esto significa que cualquier secuencia en $(0,1)$ que converge a $0$ en $\Bbb R$ debe converger a $\infty$ en $Y=(0,1)\cup\{\infty\}$ y así debe ser cualquier secuencia en $(0,1)$ que converge a $1$ en $\Bbb R$ . ¿Qué pasa si se dobla $[0,1]$ alrededor de un círculo y pegado $0$ a $1$ , renombrando el punto "doble $\infty$ ?

3. Piensa en una secuencia convergente junto con su punto límite.

Answer 2

Intuitivamente, (y permítanme subrayar intuitivamente ) se quiere añadir un único punto nuevo para que todas las secuencias que no convergen a nada tengan un lugar al que ir, al menos en una subsecuencia. Eso podría ayudarte a averiguar qué espacio probar. Por supuesto, luego tienes que demostrar que tu suposición es correcta. Quizá quieras tener en cuenta que la compactación de un punto es única. Así que si puedes encontrar cualquier espacio compacto que hace el truco, ya está hecho.

1) Ya es compacta y de Hausdorf, por lo que encontrar su compactación en un punto es sencillo. (¿Qué sería lo primero que intentarías?)

2) Ahora, para este espacio puedo construir secuencias que marchen hacia los "extremos" del intervalo pero que no tengan ningún lugar al que converger. Si añado un único punto y dejo que los extremos del intervalo vayan hacia ese único punto, ¿qué espacio he hecho?

3) En este caso, las secuencias pueden salir "hasta el infinito". Así que añado un punto $\infty$ y quiero que todas las secuencias que iban "al infinito" converjan a este punto. ¿Cuál debería ser la topología de este nuevo espacio? ¿Es realmente compacto?

Answer 3

Lo primero que hay que hacer para identificar la compactación de un punto es uidentificar los subconjuntos compactos del espacio en cuestión.

1. $[ 0 , 1 ]$ es un espacio compacto (Hausdorff), por lo que sabemos que los conjuntos compactos son simplemente los subconjuntos cerrados de $[0,1]$ . Por lo tanto, si $[ 0 , 1 ] \cup \{ * \}$ es la compactación de un punto de $[0,1]$ entonces los barrios abiertos de $*$ parecer $\{ * \} \cup U$ donde $U$ es cualquier subconjunto abierto de $[0,1]$ . En particular, como $\varnothing$ es un subconjunto abierto de $[0,1]$ se deduce que $\{ * \} \cup \varnothing = \{ * \}$ es un barrio abierto de $*$ en $[0,1] \cup \{ * \}$ ; es decir , $*$ es un punto aislado en $[ 0,1 ] \cup \{ * \}$ .

2. $(0,1)$ es en realidad homeomorfo a la recta real $\mathbb{R}$ por lo que no está de más considerar la compactación de un punto de $\mathbb{R}$ . Por el Teorema de Heine-Borel los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ son los conjuntos cerrados acotados. En particular, todo subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ es un subconjunto de un conjunto compacto $[a,b]$ para $a < b$ . Se deduce que los conjuntos de la forma $( b , + \infty ) \cup \{ * \} \cup ( - \infty , b )$ (donde $a < b$ ) constituyen la base de los barrios abiertos de $*$ en la compactación de un punto.

3. $\mathbb{N}$ es un espacio discreto, por lo que los subconjuntos compactos son los subconjuntos finitos. En particular, todo conjunto compacto es un subconjunto de un conjunto de la forma $[n] = \{ 0 , \ldots , n \}$ donde $n \in \mathbb{N}$ . De ello se desprende que una base de los barrios abiertos de $*$ en la compactación de un punto consiste en todos los conjuntos de la forma $\{ n+1 , n+2 , \ldots \} \cup \{ * \}$ donde $n \in \mathbb{N}$ .