Probar que hay infinitamente muchos $m,n$ que $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$ es un entero

Question

Probar que hay infinitamente muchos pares de enteros positivos (m, n) tal que

$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$

es un número entero positivo.

He intentado después de:

claramente $(1,1)$ satisface la condición. asumimos que $(a,b)$ satisface la condición. Si podemos encontrar algunos $f(a)$ y $f(b)$ que satisfacen la condición y están aumentando las funciones y luego terminamos. Pero no consigo tal cosa.

Answer 1

$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=k$ es equivalente a $m^2+m+n^2+n=kmn$. Nos re-escribir como una ecuación cuadrática en $n$:

$n^2+(1-km)n+(m^2+m)=0$. Y debido a que la cuadrática es monic, racional alguno raíces serán enteros.

Aplicando la fórmula cuadrática da $$n=\frac{(km-1)\pm\sqrt{(k^2-4)m^2-(2k+4)m+1}}{2}(*)$$

Si queremos encontrar los valores de $m$ $k$ que dar una solución, debemos obtener dos valores de $n$ que trabajo con la $m$$k$. Un valor de $n$ será menor o igual a $m$ (correspondiente al menos en la fórmula cuadrática; y la otra será mayor que $m$, correspondiente al plus. Esto nos va a permitir generar secuencias de valores.

El OP se observó que existe una solución para el problema original en $(m,n)=(1,1)$. El correspondiente valor de $k$$4$. A continuación, $(*)$ hace $$n=\frac{(4m-1)\pm\sqrt{12m^2-12m+1}}{2}$$ Tomando $m=1$ y el plus de la raíz da $n=2$. Por lo $(m,n)=(1,2)$ es una solución. Así es $(2,1)$.

Tomando $m=2$ y el plus de la raíz da $n=6$. Por lo $(2,6)$ $(6,2)$ son soluciones.

Tomando $m=6$ y el plus de la raíz da $n=21$. Por lo $(6,21)$ $(21,6)$ son soluciones.

Continuando se genera la secuencia de $1, 1, 2, 6, 21, 77,286,1066,3977,14841,\dots$ donde mandatos consecutivos son soluciones para el problema original.

También se puede obtener una segunda familia de soluciones correspondientes a $k=3$ (como se sugiere en el comentario de Daniel). Adecuada de los cambios que deben realizarse para la cuadrática; pero la secuencia resultante es $2,3,6,14,35,90,234,611,1598,\dots$.

No sé si hay otras familias de soluciones (correspondiente a otros valores de $k$).

P. S. de Crédito a Daniel comentario para que apunten a un fructífero dirección para este problema.

Answer 2

Ecuación:

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=a$$

Puede ser resuelto utilizando la ecuación de Pell: $p^2-(a^2-4)s^2=1$

Entonces las soluciones son de la forma:

$$n=2(p-(a+2)s)s$$

$$m=-2(p+(a+2)s)s$$

Y otra solución:

$$n=\frac{2p(p+(a-2)s)}{a-2}$$

$$m=\frac{2p(p-(a-2)s)}{a-2}$$

Otra posible fórmula solución para grabar si la relación es tal que la ecuación de $p^2-(a^2-4)s^2=4$ y el uso de sus soluciones. Entonces la fórmula es:

$$n=\frac{p-(a-2)s+2}{2(a-2)}$$ $$m=\frac{p+(a-2)s+2}{2(a-2)}$$

Answer 3

Equiparación de la expresión dada para un entero $k$ y limpieza de denominadores, tenemos una ecuación de la forma

$$m^2+m+n^2+n=kmn$$

para resolver en los enteros positivos. Multiplicando ambos lados por $2$ nos permite escribir esto como

$$(m+n)^2+(m-n)^2+2(m+n)=2kmn$$

Si ahora nos vamos a $a=m+n$$b=m-n$, por lo que el$m=(a+b)/2$$n=(a-b)/2$, la ecuación a resolver ahora se convierte en

$$a^2+b^2+2a=k{a^2-b^2\over2}$$

la cual puede escribirse como

$$(k+2)b^2=(k-2)a^2-4a$$

con el entendimiento de que $a$ $b$ van a tener la misma paridad.

En este punto, se hace extremadamente conveniente dejar a $k=3$. (Esto conducirá a una versión más fuerte de la solicitud de resultado, es decir, que existen infinidad de $m$ $n$ para el cual la suma de $(m+1)/n$ $(n+1)/m$ es igual a $3$, y no sólo a algunos entero). Si lo hacemos, la ecuación a resolver se convierte en

$$5b^2=a^2-4a$$

Antes de continuar, tenga en cuenta que cualquier $a$ $b$ que resolver esta ecuación necesariamente tienen la misma paridad, de modo que vamos a ser capaces de extraer los valores enteros de a $m$ $n$ de ellos. Tomando nota de que $a^2-4a=(a-2)^2-4$, vamos a seguir adelante y buscar incluso soluciones, escrito $a-2=2u$$b=2v$, por lo que la ecuación se simplifica a

$$5v^2=u^2-1$$

o

$$u^2-5v^2=1$$

En este punto, si usted sabe acerca de la ecuación de Pell, prácticamente se puede llamar a un día: cualquier ecuación de la forma $u^2-dv^2=1$ con los no-cuadrado de $d$ tiene infinitamente muchos enteros positivos soluciones. Si usted no sabe la teoría general, usted todavía puede obtener lo que necesita mediante la prueba de esta ecuación. Usted puede hacer esto al señalar que

$$(9+4\sqrt5)(9-4\sqrt5)=81-16\cdot5=1$$

y por lo tanto

$$(9+4\sqrt5)^n(9-4\sqrt5)^n=1^n=1$$

Al expandir $(9+4\sqrt5)^n$ (con mis disculpas para volver a utilizar el símbolo $n$), se obtiene una expresión de la forma $u+v\sqrt5$ con coeficientes de $u$ $v$ que crecen con el exponente. Hay un sencillo recursividad: si $(u,v)$ es una solución, entonces se $(9u+20v,4u+9v)$ es demasiado, ya que

$$(9+4\sqrt5)(u+v\sqrt5)=(9u+20v)+(4u+9v)\sqrt5$$